Clasificación de funciones

Clasificaci´n de funciones o Notas elaboradas por el Prof. Leopoldo Pantale´n Mart´ o ınez para el curso de matem´ticas VI de la ENP-UNAM a Funci´n potencia o La funci´n potencia es una funci´n de la forma f (x) = xn donde n ∈ N ∪ {0}. o o  R = (−∞, +∞) si n es impar ,  domf = R, Imf = [0, +∞) si n es par,   {1} si n = 0. Ejemplos: f (x) = 1, g(x) = x, h(x) = x2 , p(x) = x3 .

Las funcionespotencia son casos especiales de las funciones polinomiales que introducimos a continuaci´n. o Funci´n polinomial o polin´mica. o o Un polinomio real de grado n, es una funci´n de la forma: o f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , n ∈ N ∪ {0}, cada ak ∈ R, y an = 0. domf = R, la imagen Imf depende de los coeficientes ak y de n.

Los n´meros a1 , a2 , · · · , an−1 , an , se llaman loscoeficientes del polinomio; an se u llama coeficiente l´ ıder o dominante y a0 es el t´rmino constante o independiente. e Algunos casos destacados son los siguientes: Grado 0: f (x) = a, funci´n constante, (su gr´fica es una recta horizontal). o a

Grado 1: f (x) = ax + b, funci´n lineal, (su gr´fica es una l´ o a ınea recta cuya inclinaci´n es hacia la izquierda si su pendiente a es negativa (a < 0),y se o inclina a la derecha cuando a > 0). 1

Grado 2: f (x) = ax2 +bx+c, funci´n cuadr´tica, (su gr´fica es una par´bola o a a a que abre hacia arriba si a > 0; y abre hacia abajo si a < 0).

Grado 3: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, funci´n c´bica. o u

Terminamos esta parte dando un ejemplo de un polinomio de grado 4 y comentando que algunas veces, a este tipo de polinomios se les llamapolinomios cu´rticos: f (x) = −3x4 + x + 1 ; vemos que este polinomio tiene coeficiente l´ a ıder 3 −3 y t´rmino constante 1 . e 3 Funciones racionales Definici´n: una funci´n racional es aquella que se forma como el cociente de o o dos polinomios; es decir, que tiene la forma f (x) = donde p(x), q(x) son polinomios. dom p(x) = {x ∈ R | q(x) = 0} = R − {ceros de q(x)} q(x) 2 p(x) , q(x) = 0, q(x)

Lasfunciones del tipo f (x) = xn , con n entero negativo, son funciones ra1 1 cionales, as´ por ejemplo, las funciones y = x−1 = x , y = x−2 = x2 de las que ı vemos a continuaci´n sus gr´ficas son funciones racionales. o a

Los polinomios y las funciones racionales son subconjuntos del conjunto de las funciones algebraicas que introducimos a continuaci´n. o Funciones algebraicas Definici´n. Unafunci´n es algebraica si se puede expresar en t´rminos de suo o e mas, diferencias, productos, cocientes y ra´ ıces de polinomios. Ejemplos: f (x) = √ 1 . x+1

x − 1,

g(x) = x + √ 3

Funciones trascendentes Definici´n. Una funci´n que no es algebraica se llama trascendente. o o Ejemplos: Las funciones exponenciales, las funciones logar´ ıtmicas y las funciones trigonom´tricas. e Funciones logar´ıtmicas Una funci´n logar´ o ımtica de base a > 0, a = 1 tiene la forma f (x) = loga x y cumple que domf = (0, ∞), Imf = R. Dos casos especiales: Cuando a = e el logaritmo se llama natural o neperiano y se simboliza con y = ln x. Cuando a = 10 el logaritmo se llama decimal o vulgar y se escribe y = log x.

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Propiedades de los logaritmos de base a > 0, a = 1. i) Definici´n de logaritmo debase a > 0, a = 1: o Para cualesquiera x > 0, y ∈ R y = loga x si y s´lo si ay = x. o ii) El logaritmo de 1 y de la base: loga 1 = 0, loga a = 1. iii) Logaritmo de un producto y de un cociente: Para todos x > 0, y > 0 loga (xy) = loga x + loga y, loga (x/y) = loga x − loga y.

iii) Logaritmo de una potencia: Para cualesquiera x > 0, r ∈ R loga xr = r loga x. iv) F´rmula de cambio de base: Paracualesquiera x > 0, b > 0, b = 1 o logb x = loga x . loga b

Para los logaritmos naturales, las propiedades anteriores devienen: i) Para cualesquiera x > 0, y ∈ R : y = ln x si y s´lo si ey = x. o ii) ln 1 = 0, ln e = 1. iii) Para cualesquiera x > 0, y > 0 : ln(xy) = ln x + ln y, ln(x/y) = ln x − ln y. iii) Para cualesquiera x > 0, r ∈ R : ln xr = r ln x. iv) Para cualesquiera x > 0, b > 0, b = 1...