Coordenadas cartesianas, esféricas y cilindricas

[pic] [pic]

INGENIERIA INDUSTRIAL

TERCER SEMESTRE

FISICA II

CATEDRÁTICO

M.I. CARLOS TORRES CABRERA

ALUMNO

RODOLFO FERNANDO VIDÓ VILLALOBOS

“Coordenadas Esféricas, Cilíndricas y Cartesianas”

Transformación de Coordenadas Cartesianas a Coordenadas esféricas.
Analicemos el punto el punto (x ,y, z)
 
[pic]Ahora construyamos una esfera con centro la coordenada (0, 0,0) y de radio, [pic] la distancia del origen al punto. Sea también [pic] el ángulo formado por el eje z y el radio.
 
 
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Analizando su proyección podemos, vemos que se forma un triangulo rectángulo con vértices el origen, el punto de proyección A y el punto P, con hipotenusa el radio [pic]
 
 
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Vemos que debido a queel triángulo descrito es un triangulo rectángulo entonces la proyección sobre el plano X-Y es:
[pic]
 
 
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  Llamemos [pic] al ángulo entre el eje X y la proyección[pic]. Ahora proyectemos [pic] sobre el eje X y sobre el eje Y, entonces, tendremos: 
[pic]
[pic]
 
[pic]
Para encontrar cuál es el valor de Z analicemos la proyección de [pic] sobre el eje Z, el cual, como vemosdel triángulo rectángulo OPZ
 
[pic]

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luego entonces las transformaciones quedan expresadas como:
[pic]
Podemos fácilmente ver que como luego entonces las transformaciones quedan expresadas como el radio de la esfera solo es la distancia de el origen al punto entonces:
 
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de z podemos determinar [pic] como:
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Una vez que hemos determinado tanto [pic]entonces podemosdespejar [pic] de x o de y
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Coordenadas cilíndricas.
En este sistema un punto P del espacio queda determinado por la intersección de 3 superficies: un cilindro cuyo eje es el eje z y su radio r; un semiplano limitado por el eje z y que forma un ángulo φ con ele eje x (c. c. w.); un plano paralelo al plano x-y y a una distancia z del mismo. A dicho punto le asignamos 3 coordenadas: r, φ y z(z es la misma que en coordenadas cartesianas) (Fig. 9-b). Los rangos de cada una de ellas son:
[pic][pic][pic]

Si manteniendo r constante, hacemos variar φ y z, se generaría una superficie cilíndrica, cuyo eje coincidiría con el eje z de las coordenadas cartesianas rectangulares. Si mantenemos constante φ y variamos r y z, tendremos un plano que contendrá al eje z. Finalmente con z constantey φ y r variables, tendremos un plano perpendicular al eje z (Fig. 11). Un vector F se representa en coordenadas cilíndricas así: [pic]
siendo Fr, Fφ y Fz las tres componentes del vector F. Estas componentes son escalares y de las mismas dimensiones que F.
- ur es un vector unitario adimensional paralelo a la recta intersección del plano z=0 con el plano que contiene al eje z y forma un ángulo φcon el eje x. Su sentido es alejándose del eje z.
- uφ es un vector unitario adimensional también paralelo al plano z=0, perpendicular a ur (Fig. 9-b). Su sentido tal que ur x uφ = k.
Un elemento de línea se expresaría como un vector diferencial dl:
[pic]     (4.33)
[pic][pic][pic]
 
[pic][pic][pic]
Un elemento de superficie se expresaría como un vector diferencial ds:
[pic]     (4.34)
yun elemento de volumen se expresaría como un escalar diferencial dv:
[pic]         (4.35)
Coordenadas esféricas.
En este sistema un punto P del espacio queda determinado por la intersección de 3 superficies: una esfera con centro en el origen y radio R; un semiplano limitado por el eje z y que forma un ángulo φ con ele eje x (c. c. w.); un cono con vértice en el origen, eje coincidente con eleje z y semiángulo de apertura θ . A dicho punto le asignamos 3 coordenadas: R, θ y φ . Los rangos de cada una de ellas son:
Si manteniendo R constante, hacemos variar φ y θ , se generaría una superficie esférica de radio R. Si mantenemos constante θ y variamos R y φ , tendremos una superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas y eje coincidente con el eje z. Finalmente con φ...