Coordenadas polares

Moisés Villena Muñoz

Coordenadas Polares

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4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS,
ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas,lemniscatas, espirales en coordenadas polares

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4.1 EL SISTEMA POLAR
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir unpunto.

el par ordenado r ,θ , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones:
⎧ 2 2 ⎪r = x + y De rectangulares a polares: ⎨ ⎪θ = arctg y x ⎩

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando

(

)

⎧ x = r cos θ De polares a rectangulares: ⎨ ⎩ y =r sen θ
Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.

Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1) SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

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⎧r = 1 2 + 1 2 = 2 ⎪ Utilizando las transformaciones ⎨ π ⎪θ = arctg 1 = 1 4 ⎩
Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

( 2 , π ) = ( 2 ,−7π ) = (− 2 ,5 π ) = (− 2 ,−3 π ) (Analícelas) 4 4 4 4

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o PlanoPolar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama π “Eje 2 ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

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π
Eje

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105
75
60

120

2

135

45

150

30

16515

180
Polo

Eje Polar

195

345
210

330

225

315

240 255 270 285

300

Ejercicios propuestos 4.1
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 . π b. (3,0) a. (1, ) 2 2π c. (4,− ) d. (−1, π) 3 3π e. (−2, ) 2 Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. π e. (4,3π) a. ( 2 , ) 4 π 2π b. (−1, ) f. (2, ) 3 3 7π 5π c. (4,− ) g. (−2,− ) 6 3 5π 3 3π d. ( , ) h. (−4, ) 4 2 2 Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. b. (2 3 ,−2) a. (−1,1) c. (−1,− 3 ) 4. d. (3,4)

2.

3.

(INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique surespuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. π π π π 3π b. ( 2 , ) − (1,4π) c. (1, ) − (1, ) a. (1, ) − (3, ) . 6 4 4 3 6

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4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener unatabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 4.2
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen(θ) = 2 b. r = 2 sen(θ) 1 c. r = d. r 2 = sen(2θ) 1 − cos(θ) e. r 2 = θ 2. f. r =
3 2 − 4 cos(θ)

Encuentre la ecuación polar de la...