Coordenadas polares

Coordenadas polares
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, eneste sistema se necesitan un لngulo () y una distancia (r). Para medir , en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r,) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una lيnea con un لngulo de inclinaciَn  y, porْltimo, localizamos el punto de intersecciَn entre la circunferencia y la recta; este punto serل el que querيamos localizar.
A continuaciَn localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo ْnico que hace falta es encontrar el لngulo de inclinaciَn. Para medir elلngulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.



Como ves los لngulos pueden ser negativos dependiendo de cَmo se midan a partir del eje polar,

también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamoslocalizado el لngulo, la recta que parte del polo en esa direcciَn tendrلn un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongaciَn de esta recta en sentido contrario al polo tendrلn un radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos bلsicos de localizaciَn de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.
En este tipo de funciones la variableindependiente es  y la dependiente es r, asي que las funciones son del tipo r = r(). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la funciَn r = r() en coordenadas rectangulares y apartir de esa grلfica trazamos la correspondiente en polares. Guiلndonos con la dependencia de r con respecto a .
Recordemos que  es la variable independiente y va de 0 a 2generalmente. Por ejemplo la funciَn r =  tiene como grلfica en rectangulares

A la izquierda vemos que el radio depende linealmente con el لngulo, es decir que el radio crecerل y tomarل los mismos valores que el لngulo. Y a la derecha tenemos esta grلfica en coordenadas polares se ve claro esta dependencia del radio con el لngulo. A esta grلfica se le llama Espiral de Arquيmedes

Mostraremos acontinuaciَn algunas grلficas en coordendas polares.
r = sen(2)



r = sen(3)



r = sen(4)



r = sen(5)



Hasta aqui hemos visto que las funciones del tipo r = sen(a) son rosas o rosetas. El nْmero de pétalos depende del valor de a, si a es par, el nْmero de pétalos es 2a; y si a es impar el nْmero de pétalos es a.
Para graficar estas funciones en el cuaderno o en elpizarrَn se puede hacer una tabulaciَn sَlo con algunos valores de  que casi siempre son: 0, /2, , 3/2, 2. y ver cَmo cambia el valor de r.
r = 1- sen()

Aquي observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

Ecuación paramétrica
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Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es lacurva mariposa.
En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la...