Coordenadas Polares

INTRODUCCIÓN
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarseexitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando.
En este trabajo investigativo se presenta una buena cantidad de gráficos que nos permitirán conocer muchas de las figuras ográficos que se forman usualmente a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicación que consiste en describir el gráfico que resulta de la función y también se dan algunos breves detalles históricos o características que nos permiten reconocer determinado gráfico.
Para hacernos una idea general de los gráficos que se presentarán durante las páginas queveremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarán:

1. Rosa
2. Cardioide
3. Limaçon o caracol
4. Circunferencia
5. Lemniscata
6. Nefroide de Freeth
7. Concoide de Nicómenes
8. Cisoide de Diocles
9. Parábola
10. Espiral
Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de lasfunciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada función tendrá al ser graficada en las coordenadas polares.
Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprenderclaramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares.
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora elgráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:


ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:


UNA ROSA DENTRO DE OTRAUn caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:


CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y queapunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:


 
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:


LIMACONES O CARACOLES
Limaçon vienedel latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora...