Coordenadas Polares

Coordenadas Polares (R2).
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El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto 0 del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento 0L) que pasa por 0, llamada eje polar (equivalente al eje x delsistema cartesiano), como sistema de referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.

El valor θ crece en sentido contrario alas manecillas del reloj y decrece en sentido a favor de las manecillas del reloj.

La distancia r(r ≥ 0) se conoce como la <<coordenada radial>> o <<radio vector>>, mientras que el ángulo es la <<coordenada angular>> o <<ángulo polar>>.
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinida. En ocasiones se adopta laconvención de representar el origen por (0, 0°).
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto delas coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± nx360°) o (-r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.
El centro de coordenadas está definidopor una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas circunferencias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una únicarepresentación de un punto, se suele limitar. r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (-180°, 180°] (en radianes. [0, 2𝛑) o (-𝛑, 𝛑]).
Ecuaciones de transformación.
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste enuna serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.
Se puede deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(-θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°- θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/270°), y si r(θ-ɑ°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente a ɑ° ensentido a favor de las manecillas del reloj respecto al polo.
40760656153150Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posicion sobre el eje x.
Coordenadas de rectangulares a polares.
Definido un punto en coordenadas polares por un ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de...