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La Elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[] Unaelipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Ecuación General y Ecuación Canónica

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es
[pic]
Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje delas ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:
[pic]
En coordenadas polares, con el origen en un de sus focos, la ecuación de la elipse es:
[pic]
En coordenadas polares, conorigen en su centro, la ecuación de la elipse es:
[pic]
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h, k) es:
[pic]

La Ecuación Canónica se puede delimitar de esta manera
(x-a)^2/c^2 + (x-b) ^2/d^2=1
Elementos de la Elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí. El «semieje mayor» (letra a de la figura), y el «semiejemenor» (letra b de la figura); son la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

[pic]
Puntos de una elipse: Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
[pic]
Donde [pic] es el semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse: El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos del la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es lamenor distancia entre dos puntos adversos del la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
Excentricidad de una elipse: La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
[pic], con (0 < e < 1)
Dadoque [pic], también vale la relación:
[pic]
O el sistema:
[pic]
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero
Directrices de la elipse: Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz, La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F esuna fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
[pic]
[pic]

Propiedades Geométricas
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otrocaso el corte podría ser una hipérbola o una parábola.
[pic] [pic]

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde...
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