Derivadas

Derivada de una Función
Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene los puntos x1 y x1 + h. 
Se dice que f es derivable, ó, f es diferenciable, o f tiene derivada en x1 si:
[pic] Existe.
A dicho límite cuando existe, se le denota por:

En consecuencia, se puede escribir en este caso:
-Si f es derivable o tienederivada en [pic] 
[pic]
-Si f es derivable en todos los puntos x

La función se llamará: función derivada de f con respecto a x.

Derivada de una Función con Una Sola Variable
La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.

Si se deja variar sólo a x, dejando a Y fija, se dice quey=b, en donde b es una constante. Entonces, ciertamente es una función de una sola variable x a saber. Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a,b). De forma análoga se puede hacer para y variable y x fija.

Reglas Generales de Derivación
Las siguientes reglas tienen por objeto el calcular la derivada de una función sinusar directamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un proceso mecánico.
• Derivada de una constante
ƒ(x)=C, siendo C una constante ⇒ƒ’(x)=0
Se suele escribir: [pic]
• Derivada de la función identidad
ƒ(x)=x ⇒ƒ’(x)=1
Se suele escribir: [pic]
Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces: (f + g), (f – g), (f . g) y (f / g) sontambién derivables en x, y se generan las siguientes reglas de derivación:
• Derivada de una suma de funciones
t(x)= ƒ(x) + g(x) ⇒ t’(x)= ƒ’(x) + g’(x)
• Derivada de una diferencia de funciones
t(x)= ƒ(x) - g(x) ⇒ t’(x)= ƒ’(x) - g’(x)
• Derivada de un producto de funciones
t(x)= ƒ(x) . g(x) ⇒ t’(x)= ƒ’(x) . g(x) + ƒ(x) . g’(x)
• Derivada de un cociente defunciones
t(x)= [pic],[pic]
• Regla de la Cadena
Si y = g(u) y u = f(x), entonces se puede obtener la composición: y = (g o f) (x) = g (f(x))
Ahora, si se quiere calcular [pic]basta con derivar esta última relación.
La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manera de hallar la derivada sin efectuar la composición.
Supóngase que f y gson dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f(x), entonces:
[pic] [pic]

Derivada de la Función Logarítmica
Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.
Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0
a)Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones
[pic]
 
[pic]
 

Por tanto, si x > 0
 
[pic]
[pic]
 
[pic]
 
[pic]

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo ysuficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

[pic]

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciones Exponenciales

Sea la función y = [pic], siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:[pic]
 

y se toman logaritmos neperianos:

[pic]
  [pic]
 
[pic]

Luego:

 
[pic]
 

[pic]

En particular, cuando la constante a es el número [pic], la derivada de la función [pic] es

([pic])' = [pic] • ln [pic] = [pic] • 1 = [pic]...