Derive con integrales

Cálculo Integral

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6. CÁLCULO INTEGRAL.
6.1. LA INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN: UNA APROXIMACIÓN CON DERIVE. La integral definida de Riemann surge a partir del problema del cálculo de áreas de superficies limitadas por curvas. En el desarrollo del concepto de función integrable de una función acotada definida en un intervalo acotado, aparecen los conceptos de integral superior e integralinferior de Riemann. La idea consiste en efectuar aproximaciones por exceso y por defecto utilizando los rectángulos exteriores e interiores a la curva, en función de una determinada partición del intervalo. Para efectuar esta práctica vamos a cargar el fichero RIEMANN.MTH mediante la secuencia de comandos Archivo-Leer-Utilidad, tal como se explicó en la primera parte sobre el manejo de ficheros conDERIVE. Consideremos una función cualquiera, por ejemplo f(x)=x2, definida en el intervalo [0,2]. Una vez abierta una ventana 2-D con el botón , representamos esta función con el botón de en la ventana 2D. Supongamos que efectuamos una partición del intervalo [0,2] en 4 subintervalos. Si deseamos dibujar los rectángulos inferiores, basta que editemos la expresión y la simplifiquemos (obsérveseque _ es el subrayado). Antes de dibujar los rectángulos es conveniente efectuar dos operaciones previas: 1. Indicar que el dibujo una sucesivamente los puntos que se van representando. Para ello, una vez situados en la ventana 2D, con el comando OpcionesPantalla-Puntos debemos marcar la opción Unir-SI. Con esto se consigue que se dibujen correctamente los rectángulos. 2. Indicar a DERIVE que dibujesólo en un color, para que los rectángulos resulten homogéneos. Esto se consigue desmarcando la opción Opciones-Cambio-decolor. De esta forma todas las gráficas se dibujaran en un solo color. A continuación ya podemos aplicar y obtenemos

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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Para dibujar los rectángulos superiores editamos y simplificamos la expresión

y aldibujar con

se obtiene

Si deseamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición editamos y aproximamos la expresión y se obtiene el valor aproximado Editando y aproximando ahora la expresión obtendremos la estimación de las sumas superiores asociadas a esta partición de 4 subintervalos Si deseamos efectuar el mismo procedimiento con 16 intervalos, para dibujar los rectangulosinferiores (previamente borramos todas las gráficas con la secuencia EditarBorrar-Todas-las-Gráficas) editamos la expresión y al simplificar con y representar mediante y se obtiene

(la gráfica de la función x2 se tiene que volver a dibujar)

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Para dibujar los rectángulos superiores basta editar y representar la expresión obtenida al simplificar la anterior, obteniéndoseTambién podríamos obtener las sumas inferiores asociadas a esta partición

y las sumas superiores

Obsérvese que los valores de las sumas superiores van disminuyendo y los de las sumas inferiores van aumentando. Para calcular la integral superior de Riemann efectuamos un paso al límite. Su cálculo se puede implementar en DERIVE definiendo la siguiente expresión y lo mismo para la integralsuperior de Riemann De tal forma que si deseamos calcular la integral inferior de Rieman de la función x2 en el intervalo [0,2], basta editar la expresión que al simplificar nos da

Para el cálculo de la integral superior de Riemann editamos y se obtiene el mismo valor

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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Luego se puede afirmar (bajo ciertas condiciones de la funciónf(x)) que la función es integrable. De hecho, si hubiésemos efectuado el cálculo de la integral definida de forma directa con DERIVE hubiésemos obtenido el mismo resultado:

6.2. FUNCIÓN INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN INTEGRABLE. EJEMPLO 6.1. Dada la función  2x 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  1< x x + 2

(a) (b) (c) (d) (e)

Representar la función f(x) Calcular la función integral F(x) de f en [0,3]....