Desigualdades

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DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDAD Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ≠), no tiene apenas importancia en matemáticas y en la vida real. Ejemplos: 4 ≠ 5, que se lee 4 distinto de 5 (ó 5 distinto de 4) El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se " mayor que" ( > )  " menor que" (< )  forma con cualquiera de esos cuatro símbolos  .  " mayor o igual que" ( ≥ )  " menor o igual que" ( ≤ )  Ejemplos de desigualdades: a) 5 < 11 b) –2 > –7 c) 0 ≤ 1 4 ≥ –3 Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferente de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Practica con los ejemplos anteriores. Con estos símbolosse construye la relación de orden, ya que dados dos números cualesquiera a y b, siempre se da una de estas condiciones: a es menor que b, a es igual a b, ó a es mayor que b. (a < b)
si unimos

(a = b)
si unimos

(a > b) a≥b

a≤b Ej. Completa con V (verdadero) o F (falso) las siguientes desigualdades: 5 9 45 4 > −7 19 ___ ___ ___ ___ ___ ___ b≥b a+3 ≤ a+8 a a 2a–1 > 2a+5 ___ ___ ___ ______ ___

Para evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera (V) o falsa (F.

π ≥ 3,14

Ej Completa con el símbolo correcto las siguientes desigualdades: 3 ___ –5, –8 ___ –8, –4 ___ –20, 35 ___ 6

π ___

22 7

Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad; ejemplo: 3>5 es falsa si cambiamos de sentido 3 –48, otra pero de sentidocontrario. Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene 3 < 4 , otra del mismo sentido. 2 Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene –3 > –8, otra de sentido contrario. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de una desigualdad. Soninecuaciones: 2 + 3x < 5 x2 – 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14 Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene. Veamos un problema: Encuentra los números que verifican: que el doble menos uno sea mayor que si al número le sumamos 4. Este problema tendría una transcripción algebraica así. 2x–1>x+4 Vemos que hay muchos números que cumplen esta condición. Nº 9 11 90 6 3 –4
Doblemenos 1 Nº + 4

17 21 179 11 5 –9

13 15 94 10 7 0

cierto SI SI SI SI NO NO

Los números 9, 11, 90 y 6 vemos que la hacen cierta así como otros muchos números. Sin embargo, los números 3, –4 no la hacen cierta, estos números no cumplen la condición, también hay otros. Luego nos damos cuenta que la respuesta a una inecuación no es única, existen varias soluciones. Pág – 2 –

En general unainecuación tiene infinitas soluciones. Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las desigualdades) Sumamos 1 a los dos miembros 2x > x + 4 + 1 Restamos x a los dos miembros 2x – x > 4 + 1 Reducimos miembros x>5 Por tanto, la solución de esta inecuación es: x>5 Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita tales que al sustituirlos en lainecuación la conviertan en una desigualdad cierta, Inecuación: 2x–1>x+4 si sustituimos la x por 9 2·9 – 1 > 9 + 4 17 > 13 que es una desigualdad cierta, y, por tanto, el valor 9 será una solución 2·3 – 1 > 3 + 4 5>7 no es cierta la desigualdad, por tanto, el valor 3 no es solución.

* Para resolver una inecuación se transforma en otras más sencillas que sean equivalentes. * Dos inecuaciones sonequivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. Las propiedades que permiten transformar inecuaciones en otras más sencillas son las mismas que las propiedades de las desigualdades, simplemente cambiando la palabra desigualdad por inecuación. PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES De la suma: Si a los dos miembros de una INECUACIÓN se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se...
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