Desigualdades

DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICANDO DESIGUALDADES Desigualdades Según Carl B. Boyer, las tres medias: aritmética, geométrica y subcontraria (mas tarde llamada harmónica), ya eran conocidospor los babilonios. Cuenta que Pitágoras de Samos, matemático griego que vivió alrededor del año 550 A.N.E., sabia de las tres medias en Mesopotánea. Los pitagóricos poseían una manera alternativa dedefinir las tres medias arriba enunciadas; ellos utilizaban la noción de proporción. A saber, dados dos números positivos y , las medias aritmética, geométrica y harmónica entre y es el númerosatisfaciendo respectivamente las siguientes relaciones: (1) (2) (3) Por lo tanto, el camino es mínimo cuando el punto se ubica donde esta el punto . 2. Sea un número real, entonces 0. La igualdad ocurrecuando 0.

Huertas

4 Aplicación (2) Sean , y números reales tal que 1. Halle el mínimo valor de la . expresión , , Solución Sabemos que , , Multiplicando por 2 y sumando en ambos lados se obtiene 3De donde . ;

De donde, despejando de la ecuación (1), , o sea es la media obtenemos aritmética de y ; despejando de la ecuación (2), tenemos √ , esto es, es la media geométrica de y ; despejando dela ecuación (3), , o sea, es la media obtenemos armónica de y . Desigualdades básicas: Teoremas: 1. Para los puntos , cumple y del espacio; se

Aplicación Halle el mínimo valor de la expresión 6 15si . Solución 6 Tenemos la expresión 15 3 6. Por el teorema anterior 0 para todo , sumando 6 3 6 en ambos lados obtenemos 3 6; es decir 6 para todo . Por lo tanto, el mínimo valor de la expresión es6. Consecuencias: 2 1) 2) 3) , , 4) . Aplicación (1) Demuestre . , que 4 para todo . 3 donde , , 4 donde donde , , . . donde

Desigualdad de las medias ( ) Teoremas: Sean , , y números positivos,entonces i) √ ii) iii) En general .…. 1 Donde , positivos. ,…, 1 1 √ √

. La igualdad se verifica si y solo si .

En notación moderna | | | | | | | | | | para todo , | | para todo , . .

Solución...