Determinacion experimental de la constante pi

DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LA CONSTANTE π

RESUMEN: Utilizando una cinta métrica y un pie de rey se midió respectivamente el perímetro y el diámetro de 5 círculos diferentes. Utilizando la relación teórica entre el perímetro y el diámetro se determino el valor de pi para cada una de los círculos con su respectiva incertidumbre. Con los valores de pi obtenidos por los grupos de laboratorio,se realizo por el método de histogramas un estudio estadístico de los datos, obteniéndose una distribución gaussiana de los valores de pi. Finalmente, a partir del método de mínimos cuadrados se corroboro que existe una relación lineal entre el perímetro y el diámetro, relación que permitió determinar un valor de pi de 3.12 ± 0.01 con un error porcentual del 0.63%.


INTRODUCCIONExperimental y teóricamente se ha encontrado que existe una relación lineal entre el perímetro P y el diámetro d de una circunferencia dada por la ecuación:

P=π*d [Ec 1]

donde π (pi) es un número irracional y su valor numérico truncado a sus primeras cifras es π = 3.14159.

π es una de las constantes matemáticas más importantes. Se empleafrecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. Se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados[1].

El propósito de la práctica es determinar a partir demedidas experimentales y cálculos directos el valor de la constante pi. Para tal fin, se utilizaron, el método de histogramas, el método de mínimos cuadrados y la relación teórica dada en la ecuación 1.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Utilizando un pie de rey y una cinta métrica, se midieron el diámetro y el perímetro, respectivamente, de 5 círculos diferentes. Como precauciones, se verifico quelos dos estuvieran bien calibrados y que estuvieran bien colocados sobre cada circunferencia.

Faltan los dibujos, pero eso lo colocan ustedes

RESULTADOS Y ANALISIS
En tabla 1, se muestran los valores experimentales del perímetro y del diámetro para cada uno de los círculos. Adicionalmente, se muestran los valores de pi con su respectiva incertidumbre calculados a partir de la ecuación 1.Circulo perímetro
(±0.05cm) diámetro
(±0.005cm) π
1 12.6 3.960 3.18±0.01
2 18.7 5.902 3.17±0.01
3 25.0 7.942 3.15±0.01
4 31.3 9.937 3.15±0.01
5 37.5 11.955 3.14±0.01
Tabla 1. Valores experimentales de perímetro, diámetro y pi medidos en cinco circunferencias diferentes.

Como se puede observar en la tabla 1, los valores experimentales de pi no son muy diferentes, por lo que en primeraaproximación se corrobora que independientemente del diámetro y el perímetro de una circunferencia el valor de pi es el mismo. Ahora, se encontraron valores de pi diferentes a los reportados por la teoría (3.14). La razón por la cual se presentan estos valores, pueden estar asociados a errores sistemáticos o accidentales. Los errores sistemáticos están asociados a posibles errores de paralaje y ala baja la precisión de los aparatos, en especial la cinta métrica. Por otro lado, a pesar de que se tuvo mucho cuidado, los errores accidentales están relacionados con una mala colocación de la cinta métrica o el pie de rey.

Con el ánimo de disminuir los errores accidentales, se tomaron los valores de pi calculados por los demás grupos del laboratorio y se realizo un estudio estadísticode los valores calculados. En la tabla 2 se encuentran los valores de pi calculados por todos los grupos y en la figura 1 se muestra el histograma correspondiente a este conjunto de datos. Debido a que no hay la suficiente cantidad de puntos, fue necesario construir el histograma a partir del número de datos que se encontraban en un respectivo intervalo.

Grupo Valores de Pi
1 3.17 3.26 3.17...