Diagonalizacion algebra lineal

Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalizaci´n de matrices. o

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2.1.

Definiciones y propiedades

Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales Rn y Rm definidos sobre el cuerpo R.

Definici´n 2.1.2. La aplicaci´n f : Rn −→ Rm diremos que es lineal si ∀v, w ∈ Rn y o o todo α ∈ R se tiene que: (1) f (v + w) =f (v) + f (w). (2) f (α · v) = α · f (v).

Ejemplos 2.1.3. (1) La aplicaci´n f0 : Rn −→ Rm , definida por f0 (v) = 0 o ∀v ∈ Rn , es lineal. ∀v ∈ Rn , es

(2) La aplicaci´n identidad 1Rn : −→ Rn , definida por 1Rn (v) = v o lineal.

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Propiedades 2.1.4. Sea f : Rn −→ Rm una aplicaci´n lineal o
n n

(1) f
i=1

λi vi

=
i=1

λi f (vi ), λi ∈ R, vi ∈ Rn , 1 = 1, 2, · · · , n

(2)f (0) = 0. (3) f (−v) = −f (v). (4) f (v − w) = f (v) − f (w). (5) Si S es un subespacio vectorial de Rn , entonces f (S) es un subespacio vectorial de Rm . (6) Si {v1 , v2 , · · · , vk } es un sistema generador del subespacio S, entonces {f (v1 ), f (v2 ), · · · , f (vk )} es un sistema generador del subespacio f (S).

2.2.

Representaci´n matricial de una aplicaci´n lineal o o

Todaaplicaci´n lineal f : Rn −→ Rm viene determinada por una matriz A ∈ Mn×m y o el an´lisis de la aplicaci´n puede reducirse al an´lisis de la matriz que la determina. a o a Proposici´n 2.2.1. Sean B = {u1 , u2 , · · · , un } base de Rn , B = {u 1 , u 2 , · · · , u m } base o de Rm y f : Rn −→ Rm una aplicaci´n lineal tal que las im´genes por f de los vectores de o a la base B tienen coordenadas respectode la base B :   f (u1 ) = (a11 , a12 , · · · , a1m )B      f (u ) = (a , a , · · · , a )
2 21 22 2m B

     

······ f (un ) = (an1 , an2 , · · · , anm )B

La imagen del vector x = (x1 , x2 , · · · , xn )B se puede expresar en coordenadas respecto a la base B como:  (y1 , y2 , · · · , ym )B a11 a12 a22 ··· an2 ··· ··· ··· ··· a1n 

 a  21 = f ((x1 , x2 , · · · , xn ) =(x1 , x2 , · · · , xn ))B  · · ·  an1

 a2n    ···   anm

Donde la matriz A = (aij ) tiene por filas las im´genes por f de las vectores de la base B a con coordenadas en la base B .

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Esta expresi´n recibe el nombre de expresi´n matricial de f respecto de las bases B o o y B de Rn y Rm respectivamente. Nota 2.2.2. Salvo que se diga lo contrario, las bases que utilizaremos enlo sucesivo ser´n a las bases can´nicas de los respectivos espacios vectoriales, por lo que la expresi´n del vector o o coincidir´ con sus coordenadas. a

Definici´n 2.2.3. Sean A, B ∈ Mn×m , A, B son equivalentes si existen P ∈ Mn×n y o Q ∈ Mm×m no singulares tales que B = P AQ−1 .

Nota 2.2.4. Dos matrices asociadas a la misma aplicaci´n lineal con respecto a bases o diferentes sonequivalentes. Rec´ ıprocamente, dos matrices equivalentes siempre est´n asoa ciadas a la misma aplicaci´n lineal con respecto a bases diferentes. o

Definici´n 2.2.5. Sean A, B ∈ Mn×n , (matrices cuadradas). A, B son semejantes si o existe P ∈ Mn×n no singular tal que B = P AP −1 .

Nota 2.2.6. Dos matrices asociadas al mismo endomorfismo con respecto a bases diferentes son semejantes. Rec´ ıprocamente,dos matrices semejantes siempre est´n asociadas a al mismo endomorfismo con respecto a bases diferentes.

2.3.

N´ cleo e imagen de una aplicaci´n lineal. u o

Definici´n 2.3.1. Sea f : Rn −→ Rm una aplicaci´n lineal. o o El subconjunto del espacio inicial (Rn ) formado por los vectores cuya imagen por f es el vector nulo del espacio final, recibe el nombre de N´ cleo de f : u N (f ) = Ker(f )= {u ∈ Rn : f (u) = 0}. El subconjunto del espacio final (Rm ) formado por las im´genes por f de los vectores a del espacio inicial recibe el nombre de Imagen de f : Im(f ) = {v ∈ Rm : ∃u ∈ Rn : v = f (u)}.

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Proposici´n 2.3.2. Sea f : Rn −→ Rm una aplicaci´n lineal. o o Ker(f ) es un subespacio vectorial del espacio inicial (Rn ). (Ker(f ) = f −1 (0)). Im(f ) es un subespacio...