Dinamica

DINÁMICA
7. Cinemática de la Partícula
7.1.Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual se mueve una partícula con frecuencia conviene describir el movimiento empleando coordenadas que corren normales y tangenciales a la trayectoria, respectivamente y en el instante considerado tienen su origen en la partícula.
Movimiento en elplano:
Consideremos a la partícula P, que se mueve en un plano a lo largo de una curva determinada, de modo tal que en un instante dado está en una posición S, medida desde el punto O. Tomando en cuenta un sistema de coordenadas que tiene su origen en un punto fijo de la curva y, en el instante que se considera este origen coincide con la ubicación de la partícula. El eje es tangente a lacurva en P y es positivo en la dirección de S creciente.

Velocidad:
Como la partícula se mueve, S es función del tiempo. La velocidad v de la partícula tiene una dirección que siempre es tangente a la trayectoria y una magnitud que se determina tomando la derivada de la función trayectoria = s(t) con respecto al tiempo, es decir, u = ds/dt, por lo tanto,

Aceleración:
La aceleraciónde una partícula es la rapidez de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir,

Ejemplo:
1. Un coche de carreras va por la pista horizontal circular que tiene un radio de 300 ft. Si el auto aumenta su velocidad a tasa constante de 7 ft/s2, y comienza desde el reposo, calcule el tiempo que se necesita para alcanzar una aceleración centrípeta de 8 ft/s2. ¿Cuál es su velocidad en eseinstante?

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas:
El origen de los ejes n y t coincide con el auto en el instante que se considera. El eje t está en la dirección del movimiento y el eje n positivo está dirigido hacia el centro del círculo. Se selecciona este sistema de coordenadas, ya que se conoce la trayectoria.
Aceleración:
En este caso at = 7 ft/s2. también, an = v2/p siendo p = 300 ftEl tiempo necesario para que la aceleración centrípeta alcance el valor de 8 ft/s2 es entonces:

La velocidad cuando el tiempo t= 4.87s es:

7.2. El trabajo de una fuerza.
Una fuerza efectúa trabajo sobre una partícula solo cuando esta sufre un desplazamiento en la dirección de la fuerza. Si la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria a una posición r, donde r es el vectorposición, entonces el desplazamiento es dr=r’-r, la magnitud de dr está representada por ds, donde:

El trabajo expresado por la ecuación anterior puede interpretarse de alguna de las dos formas: puede ser el producto y la componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza es decir, o bien como el producto de ds por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, esdecir F .
7.2.1. Trabajo De Una Fuerza Variable
Si la partícula sufre un cambio finito a lo largo de la trayectoria desde r1 hasta r2 o s1 a s2 el trabajo se calcula por integración, por lo tanto:

7.2.2. Trabajo de una fuerza constante que se mueve en línea recta.
Si la fuerza tiene magnitud constante y actúa en una dirección constante a partir de su trayectoria recta, entonces lacomponente de Fc en la dirección del desplazamiento es Fc cos , el trabajo está determinado por la ecuación.

7.2.3. Trabajo de un peso
El trabajo efectuado es la magnitud del peso de la partícula por su desplazamiento vertical.

7.2.4. Trabajo de la fuerza de un resorte
La magnitud de la fuerza que se desarrolla en un resorte lineal y esta se desplaza a una distancia de su posiciónno deformada es , si se alarga o comprime con respecto a una posición el trabajo sobre el resorte es positivo; si la fuerza ejercida sobre el resorte es opuesta, entonces será negativa.

Ejemplo:
2. El bloque de 10 kg que aparece en la figura descansa en el plano inclinado liso. Si el resorte originalmente no está deformado, calcule el trabajo total efectuado por todas las fuerzas...