Distribución normal

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FDP NORMAL

La función de distribución de probabilidad normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la función de distribución de probabilidad (FDP) para v. a. continua más utilizada en estadística. La experiencia ha demostrado que la FDP normal es un modelo razonablemente bueno de una variable aleatoria continua cuyos valores dependen de una serie de factores y, cada factor ejerceuna influencia, positiva o negativa, relativamente pequeña.

Así pues, si analizamos la variable aleatoria del peso corporal, es probable que siga una FDP normal por que los factores como la herencia, la estructura corporal, la dieta, el ejercicio y el metabolismo tienen todas ciertas influencias sobre el peso, pero ningún factor domina rotundamente sobre los demás. De la misma manera, lasvariables como la altura y la nota media de una clase también siguen una distribución normal. Por comodidad en la notación, vamos a expresar la v. a [pic]distribuida normalmente como

[pic]

Donde [pic] significa distribuida como, [pic] representa la FDP normal, y las cantidades entre paréntesis son los parámetros de la FDP normal, es decir la media de la población [pic] y la varianza de lapoblación [pic]. Observe que [pic] es una variable aleatoria continua y puede sumir cualquier valor en el intervalo [pic], (del infinito negativo al infinito positivo).

La FDP normal es de vital importancia en estadística por tres razones principales.

Importancia de la FDP normal

1. Numerosos fenómenos continuos parecen seguirla o pueden aproximarse mediante ella.
2. La distribución normalsirve para acercarse a diversas distribuciones de probabilidad discreta, como la distribución binomial
3. La distribución normal proporciona la base para la inferencia estadística clásica por su relación con el teorema central del límite

Propiedades de la FDP normal

La FDP normal tiene importantes propiedades teóricas:

▪ Tiene una apariencia de forma de campana, es decir, essimétrica en torno a su valor medio[pic].
▪ La FDP normal alcanza su máximo en su valor medio y es asintótica en sus extremos. Esto se manifiesta en que en que la probabilidad de tener un valor muy alejado de su valor medio se hace cada vez más pequeño. Por ejemplo la probabilidad de que alguien tenga un peso corporal de 150 Kg. es muy pequeño ( pero existe)
▪ Sus medidas de tendencia central( media, mediana, moda ) son todas idénticas ( en teoría )
▪ Aproximadamente el 68 % del área bajo la curva de la FDP normal se encuentra entre los valores [pic] . Aproximadamente el 95% se encuentra entre [pic]. Y aproximadamente el 99.7% del área se encuentra entre [pic]. La superficie o el área bajo la curva de la gráfica de la FDP normal representa el 100 % de las posibilidades.
▪Una FDP normal queda totalmente descritas por sus parámetros [pic] y [pic]. Es decir con estos dos parámetros podemos calcular la probabilidad de que la v.a. continua se encuentre en cualquier intervalo.

▪ Su variable aleatoria asociada tiene un rango infinito ( [pic] )

Es importante saber que existen muy pocas variables que se pueden describir exactamente a través de las propiedadesdescritas anteriormente, sin embargo existen muchas de ellas que se aproximan y pueden ser tratadas a través de la FDP normal

La expresión matemática que representa la función de distribución de probabilidad normal esta dada por:
[pic]

Donde

[pic], es la constante matemática aproximada por 2.71828
[pic], es la constante matemática aproximada por 3.14159
[pic], es la media (población)[pic], es la desviación estándar (población)
[pic], es cualquier valor de la variable continua, donde [pic]

Puesto que [pic]y [pic]son constantes matemáticas, las probabilidades de una variable aleatoria [pic]depende sólo de dos parámetros de la distribución normal: la media [pic]y la desviación estándar[pic]. Por esto cada vez que se especifique una combinación particular de [pic]y[pic] se...
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