Distribucion t-student

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La distribución t de student

O lo que es lo mismo: La relación entre la cerveza y los estudios de estadística

La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908. Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness con quien tenía un contrato que estipulaba que no podía usar su nombre en sus publicaciones. Él recurrió al sobrenombre de “Student”que es como ahora conocemos el tipo de estadística que desarrolló.

Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía Guinness habían publicado artículos en los que se divulgaban secretos o información confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a Gosset a aceptar la cláusula.

Deacuerdo al Teorema del Límite Central, la distribución muestral de una estadística (como la media de la muestra) seguirá una distribución normal, siempre y cuando el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. grande Entonces cuando conocemos la desviación estándar de la población podemos calcular un valor o calificación z y emplear la distribución normal para evaluar probabilidades sobre lamedia de la muestra. Sin embargo, muchas veces los tamaños de las muestras son muy pequeños, y frecuentemente no conocemos la desviación estándar de la población. Cuando estos problemas ocurren, en estadística se recurre a una distribución conocida como la “t de student” cuyos valores están dados por:

x−μ t= s n

Diferencia a probar

Desviación estándar de la diferencia

Podemos ver quela ecuación es prácticamente igual a la utilizada para la distribución muestral de medias, pero reemplazando la desviación estándar de la población por la desviación estándar de la muestra. De manera similar al caso de la distribución muestral de medias para el caso de que n > 30, en donde usamos la distribución normal, podemos encontrar la distribución de los valores t de student para aquelloscasos cuando n < 30. 30 Sin embargo, otra diferencia en su uso es el empleo de tablas de distribución para valores t en lugar de las tablas para valor Z.

Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supuso que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseendistribuciones en forma casi de campana también proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribución t. La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t no es igual a 1 como en la de Z, sino que depende del tamaño de la muestra y siempre es Z mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.

Otra diferencia conla distribución normal, es que la forma de la distribución t de student depende de un parámetro llamado el número de grados de libertad. libertad El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra (número de observaciones independientes) menos 1. Gl = ν = n – 1

Nota: cuando usemos software es posible que el número de grados de libertad se denomine como df o DF (“degrees offreedom”).

Las curvas muestran la forma que puede tomar la distribución t de student la cual depende del número de grados de libertad. Como se puede apreciar se libertad parece mucho a la distribución normal. Incluso, para un número grande de grados de libertad (es decir de número de datos en la muestra) las dos distribuciones son iguales. iguales 1 grado de libertad más de 25 grados de libertadAunque parece una distribución normal, la distribución t tiene un poco más de área en los extremos y menos en el centro. Otro punto a notar es que la distribución t es más bien una colección de distribuciones, una para cada número de grados de libertad. libertad

El concepto de grados de libertad se puede visualizar haciendo referencia a la varianza muestral que es igual a:

s

2

∑ =...
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