Ecuaciones diferenciales lineales

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma a0 .x/ dy C a1 .x/y D g.x/; donde dx a0 .x/ ¤ 0:

Una ecuación diferencial linealhomogénea de primer orden es de la forma a0 .x/ dy C a1 .x/y D 0; donde dx a0 .x/ ¤ 0 :

Observación. En este caso g.x/ D 0. Ejemplo 2.3.1 Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales: 1. xy 0 y D x2.

2. y 2 x 0 C 2yx D 3y. 3. .2y C 1/ dx C .y 2 x H Ahora tenemos: 1. a0 .x/ D x, a1 .x/ D 1 & g.x/ D x 2 . x es la variable independiente y la variable dependiente es y. 2. a0.y/ D y 2 , a1 .y/ D 2y & g.y/ D 3y. y es la variable independiente y la variable dependiente es x.
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

y

x/ dy D 0.

1

2 3. Realizando algunas operaciones: .2y C 1/ dx C .y 2 x ) .2y C 1/ dx C y2 x dy y x/ dy D 0 ) .2y C 1/

Ecuaciones diferenciales ordinarias

dx C y2 x dy 1/x D y:

y

xD0 )

x D y ) .2y C 1/

dx C .y 2 dy

Vemos que a0 .y/ D2y C 1, a1 .y/ D y 2

1 & g.y/ D y.

y es la variable independiente y la variable dependiente es x.

Ejemplo 2.3.2 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas: 1. xy 0 y D 0.

2. y 2 x 0 C 2yx D 0. 3. .2x C 5/y 0 C .x 2 H 5/y D 0.

En estos casos tenemos: 1. a0 .x/ D x, a1 .x/ D 1. 2. a0 .y/ D y 2 , a1 .y/ D 2y. 3. a0 .x/ D 2x C 5, a1 .x/ D x 2 5.

2.3.1Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea

Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos procedimientos. Primer procedimiento. La ecuación diferencial a0 .x/ a0 .x/ dy C a1 .x/y D 0 es separable. En efecto: dx

dy dy C a1 .x/y D 0 ) a0 .x/ D a1 .x/y ) dx dx dy a1 .x/ dy a1 .x/ ) D y ) D dx ) dx a0 .x/ y a0 .x/ dy a1 .x/ ) D p.x/dxI donde p.x/ D y donde a0 .x/ ¤ 0 : y a0 .x/

Integrando se obtiene: dy D y p.x/ dx ) ln y C C1 D ) ln y D ) y D Ce
R

p.x/ dx C C2 )
R p.x/ dxCC

p.x/ dx C C ) y D e
p.x/ dx

) yDe

R

p.x/ dx C

e

)

I donde C es arbitrario.

Ejemplo 2.3.3 Resolver la ED:

x

dy C x 3 y D 0; con x ¤ 0 : dx

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales H Separando las variables: xIntegrando: dy D y x 2 dx ) ln y C C1 D ) ln y D ) y D Ce x3 C C2 ) 3
x3 3

3

dy dy dy C x3y D 0 ) x D x3y ) D x 2 dx : dx dx y

x3 CC ) y De 3
x3 3

CC

) y D eC e

x3 3

)

:

Esta última expresión es la solución general de la ED. Segundo procedimiento. Lo primero que se hace es normalizar la ecuación diferencial, es decir, dividimos la ecuación diferencial entre a0 .x/ ¤ 0 paraobtener el coeficiente del término con mayor derivada igual a uno: a0 .x/ dy a1 .x/ dy dy C a1 .x/y D 0 ) C yD0 ) C p.x/y D 0 ) dx dx a0 .x/ dx ) y 0 C py D 0 :

Como antes, denotamos p.x/ D

a1 .x/ , con la restrición a0 .x/ ¤ 0. a0 .x/ A continuación se hacen las siguientes consideraciones: a. Se define .x/ D e
R p.x/ dx

:
R

En este caso no usamos la constante de integración de laintegral e p.x/ dx para obtener una función .x/ lo más sencilla posible. Por el teorema Fundamental del Cálculo, al derivar obtenemos: Â Ã R R R d d p.x/ dx p.x/ dx d D e De p.x/ dx D e p.x/ dx p.x/ D p : dx dx dx es decir:
0

D p: dy Cy p D dx  à dy C py : dx

b. Por otro lado

d . y/ D dx

dy d Cy D dx dx

Igualdad que se escribe como: . y/ 0 D .y 0 C py/ : Para resolver la ecuacióndiferencial y 0 C py D 0: a. Se multiplica la ecuación diferencial por la función .x/ D e .y 0 C py/ D 0 : b. Se aplica la igualdad anterior (2.1): . y/ 0 D 0 :
R p.x/ dx

(2.1)

:

4 c. Integrando se obtiene: . y/ 0 dx D d. Por último se despeja la variable y: yD C e
R p.x/ dx

Ecuaciones diferenciales ordinarias

0 dx )

yDC ) e

R

p.x/ dx

y D C:

) y D Ce

R

p.x/ dx...