Ecuaciones diferenciales

V. ECUACIONES DE BERNOULLI, RICATTI Y CLAIRAUT

La ecuación de Bernoulli es: [pic] donde n es un número real cualquiera.
Para [pic] , la sustitución [pic] lleva a la ecuación lineal :
[pic]

• La ecuación[pic] se llama Ecuación de Ricatti, es una ecuación no lineal.

• La ecuación Diferencial [pic] se llama ecuación de Clairaut

TAREA:

Resolver la ecuación de Bernoulli dada:1. [pic] 2. [pic]

3. [pic] 4. [pic]

5. [pic]
MODELO MATEMÁTICO[1]

Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos maternaticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo,podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:

i) Mediante la identifcación de las variables causantesdel cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especifìcamos el nivel de resolución del modelo.

A continuación,

ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.

Para algunos fines quizábaste contar con modelos de baja resolución; por ejemplo, en los cursos básicos de física el lector habrá advertido que al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si el lector es un científico cuyo objeto es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá tener en cuentala resistencia del aire y demás factores, como la curvatura de la Tierra.

Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más de las variables, el enunciado metemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales.Una vez formulado un modelo matemático (sea una ecuación diferencial o un sistema de ellas), llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Una vez resuelto, comprobamos que el modelo sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solución sondeficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado. Al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que debamos conformarnos con una solución aproximada.

[pic]

Figura: “Proceso de modelado.”

Confrecuencia, el modelo matemático de un sistema fisco inducirá la variable t, el tiempo. En este caso, una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro.
Crecimiento y Decaimiento Naturales

La ecuación diferencial [pic]; donde k es una constantefunciona como modelo matemático en una considerable gama de fenómenos naturales, todos los que contengan una cantidad cuya tasa de cambio sea proporcional a su valor en curso. Estos son algunos casos:

1. Crecimiento de Población:

Sea p(t): Numero de individuos de una población[ Humanos, insectos o bacterias].
( Índice constante de la naturalidad de la población.
( Índice constante de...