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Capítulo 3

Sucesiones de números reales
Como libros de referencia para los temas de este capítulo, aunque haya algunas diferencias de detalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [BARTLE -S HERBERT] (especialmente sus comentarios sobre algunos conceptos) y [ROSS], algo más conciso pero igualmente claro.

3.1. Sucesiones convergentes
3.1.1. Definición de sucesión. Sucesionesacotadas y sucesiones convergentes. Límite de una sucesión convergente

Informalmente, una sucesión de números reales es una lista ilimitada de números s1 , s2 , s3 , s4 , . . . , sn , . . . (n indica el lugar que ocupa el número sn en la lista); puesto en forma de tabla lugar valor 1 s1 2 s2 3 s3 4 s4 5 s5 ... ... n sn ... ...

es obvio que se trata justamente de una función real con dominioN. Esta es su definición formal. Definición 3.1.1. Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio N y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con dominio N, o sea, una aplicación s : N → R. Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada n ∈ N se denota por sn , en lugar de s(n) como para las demás funciones.Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de término nésimo de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa. Como el dominio N es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación s : N → R para una sucesión es más frecuente encontrar notaciones del tipo (sn )n∈N ó (sn )∞ ó {sn }∞ o alguna n=1 n=1 similar,poniendo mayor énfasis en los términos. Aunque esta notación propicie a veces la confusión, no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesión y el conjunto de valores que toma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obsérvese, por ejemplo, que una sucesión tiene siempre infinitos términos inclusoaunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes. 37

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Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Ejemplos. Los ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando una fórmula que defina el término n-ésimo, como en los siguientes casos: • sn = a, donde a es un número real prefijado (sucesión constante); la sucesión consta de los términos a, a, a, . . . , a, . . . • sn =n (sucesión de los números naturales); la sucesión consta de los términos 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, . . . • sn = 1 ; la sucesión consta de los términos n 1 1 1 1 1 1, , , , , . . . , , . . . 2 3 4 5 n • sn = (−1)n ; la sucesión consta de los términos −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . • Las fórmulas no tienen por qué referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo,considérese la sucesión 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; 3, 1415926; 3, 14159265; 3, 141592653; . . . formada por las aproximaciones decimales de π (el término n-ésimo sería la aproximación decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supiéramos escribir con todas sus cifras el término 1 000 000 000 000 000, sabemos que ese término está perfectamente definido, y lo mismo podemos decirde cualquier otro. En este caso podemos dar una fórmula explícita para el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera: concretamente, para cada n ∈ N, sn = 3 + a1 a2 ak an + +···+ k +···+ n , 10 102 10 10

donde ak = [10k π] − 10[10k−1 π] (1 ≤ k ≤ n); el hecho de que esta fórmula no proporcione un algoritmo de cálculo para los ak no obsta para que estos estén definidos sin ambigüedad ysin excepción alguna. • Sucesiones recurrentes. Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en función de los anteriores (definición inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesión de Fibonacci, dada por s1 = 1, cuyos primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en...
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