Educacion

POTENCIAS, RA´ ICES Y LOGARITMOS
Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente u ıa o

1.

Potencias
Las potencias de exponente natural son productos de factores iguales: an = a · a · a · · · · a (nfactores)

Las potencias as´ definidas tienen las siguientes propiedades: ı Producto de potencias de la misma base: am · an = am+n Cociente de potencias de la misma base: am = am+n an

Potencia de unproducto: (a · b)n = an · bn Potencia de un cociente: a b
n

=
n

an bn

Potencia de una potencia: (am ) = amn Las potencias de exponente cero y de exponente entero negativo se definen de formaque se cumplan estas propiedades: n 1 a0 = 1; a−n = a Lo mismo pasa con las potencias de exponente fraccionario. Por ejemplo, para que se cumpla la ultima propiedad debe verificarse: ´ a2
1 1

2

=ay por consiguiente a 2 debe ser un n´mero que elevado al cuadrado sea igual a a. Como se sabe, este u √ n´mero es a. En general: u √ √ m 1 a n = n am an = n a

2.

Ra´ ıces
La ra´ en´sima deun n´mero a es un n´mero cuya potencia en´sima es a: ız e u u e √ xn = a =⇒ x = n a

Puesto que las ra´ ıces pueden considerarse potencias de exponente fraccionario, sus propiedades son similares alas de las potencias: √ √ √ Ra´ de un producto: n a · b = n a · n b ız √ n a a n Ra´ de un cociente: ız = √ n b b √ √ n m = ( n a)m Ra´ de una potencia: a ız √ √ Ra´ de una ra´ m n a = mn a ız ız: 13.

Logaritmos

Si en una ecuaci´n xn = A se desea despejar la base de la potencia x puede hacerse mediante o √ ız la ra´ en´sima x = n A. Pero la ra´ no permite despejar el exponente de lapotencia. Para ello es ız e necesaria otra funci´n, el logaritmo. o Se llama logaritmo en la base a del n´mero N al exponente que hay que poner a a para obtener u N . Este n´mero se simboliza medianteloga N . As´ u ı: ax = N =⇒ x = loga N o bien aloga N = N

De la definici´n de logaritmo se deducen las siguientes propiedades de simplificaci´n: o o aloga x = x Los logaritmos tienen las siguientes...