Educacion

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´tica a

ALGEBRA LINEAL

x θ

x − x1n ¯ y 1n x1n ¯ y 1n ¯ y − y 1n ¯

Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge Gonz´lez V. a

2003

Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo E., Jorge Gonz´lez a

Tercera Edici´n 2002 o Edici´n y Diagramaci´n: Carlos Arce. o o Dise˜o de portada: n
A Tipograf´ y compilador: L TEX ıa

iPresentaci´n o
Los materiales de este libro han sido desarrollados para el curso introductorio de ´lgebra lineal, dirigido a estudiantes de ingenier´ a ıa y otras carreras de la Universidad de Costa Rica. En ellos se resume la experiencia de impartir el curso durante seis a˜os. n Nuestro prop´sito ha sido dotar a los estudiantes de un folleto o con los temas b´sicos de la teor´ del ´lgebra lineal que,resalte los a ıa a aspectos geom´tricos del tema, no oculte algunas demostraciones e fundamentales que permiten reconocer las vinculaciones entre distintos conceptos y muestre algunas de sus aplicaciones. El libro incluye adem´s listas abundantes de ejercicios que privilegian la a aplicaci´n de conceptos sobre los aspectos p´ramente algor´ o u ıtmicos. Esta nueva edici´n presenta algunos cambiosrespecto a la ano terior. Todos los cap´ ıtulos fueron revisados, se mejoraron los gr´ficos y en algunos se agregaron nuevos ejercicios. El cap´ a ıtulo de regresi´n lineal se reformul´ completamente, haciendo una mejor o o exposici´n del tema. Por otra parte, el libro incluye ahora, una o nueva presentaci´n en formato PDF con hypertexto, que permite o ser distribuido por medios electr´nicos y queconstituye un nuevo o recurso para que los profesores hagan sus exposiciones con ayuda de ... o equipos similares. Agradecemos a los colegas de la c´tedra de ´lgebra lineal sus a a observaciones sobre errores en la edici´n anterior y las sugerencias o para mejorar el material.

ii

´ Indice General
1 Sistemas de ecuaciones lineales 1.1 1.2 Sistemas con dos inc´gnitas . . . . . . . . . . . . . oSistemas n × m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Sustituci´n hacia atr´s . . . . . . . . . . . . o a Operaciones elementales . . . . . . . . . . . Sistemas equivalentes y reducci´n gaussiana o 1 1 5 7 8 8 10 10 11 12 15 16 18 18 20 23

Soluci´n de sistemas representados como matrices . o 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Matriz del sistema y matriz aumentada . .Operaciones elementales sobre las filas de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . Reducci´n gaussiana y matriz escalonada . o Reducci´n de Gauss-Jordan . . . . . . . . . o

1.4

Matrices equivalentes y rango . . . . . . . . . . . . 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Escritura matricial de sistemas . . . . . . . Equivalencia de matrices . . . . . . . . . . . Rango deuna matriz . . . . . . . . . . . . . iii

iv 1.5 Caracterizaci´n de los sistemas, por su soluci´n . . o o 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.6 1.7 Sistemas que no tienen soluci´n . . . . . . . o Sistemas con soluci´n . . . . . . . . . . . . o Sistemas homog´neos e . . . . . . . . . . . . 24 24 25 28

Sistemas con menos ecuaciones que variables 29 Sistemas n × n . . . . . . . . . . . . . . . . 3030 32 33 34 36 47 49 54 57 59 64 67 68 75 75 77 80 84

Interpretaci´n del rango de una matriz . . . . . . . o Redes y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 1.7.1 1.7.2 Redes de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . Redes el´ctricas . . . . . . . . . . . . . . . . e

1.8

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Matrices 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Algunos tipos dematrices . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con matrices y propiedades . . . . . . Algunas interpretaciones para el producto matricial Propiedades del producto matricial . . . . . . . . . Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 2.7 Propiedades de las matrices elementales . .

Independencia lineal de vectores . . ....