Ejercicios de matemática - cálculo

EJERCICIO 1
Dada la función f(x) = x2 + x-6x2+ 2x-3 , se pide:
a) Encuentre su dominio y los puntos de intersección de la función con los ejes cartesianos.
Resolución
Para determinar eldominio debemos estudiar dónde se anula el denominador.
x2+ 2x-3=0
-2±22-4.1.(-3)2.1 = -2±162= -2±42 x1 = 1
x2 = -3Para x=1 y x= -3 el denominador se anula. Como la división por 0 (cero) no existe, debemos suprimir del dominio a estos puntos.
∴Dom f(x) = R – 1; -3}

Intersección con los ejes cartesianos:
∩Eje x (y=0) y= x2 +x-6x2+2x-3=0
x2+x-6=0.x2+2x-3)
x2 +x-6=0
-1±12-4.1.(-6)2.1 = 0-1±252 -1+52 = x1= 2
-1-52 = x2 = -3
x2 = -3 no lo tomamos como punto de corte con el eje x dado que nopertenece al dominio de la función.

∩ Eje y (x=0) Para esto, en la función reemplazo el valor de x por cero.
f(x) = x2+x-6x2+2x-3
f (0)=02+0-602+2.0-3 = -6-3 = 2
∴ La intersección con el eje de las ordenadas se da en el punto 0;2

b) Indique los puntos en los que la función es discontinua y clasifique esas discontinuidades (sison evitables o no). Justifique su respuesta.
Resolución
F(x) = x2+x-6x2+2x-3 no está definida en los puntos x=1 y x= -3, la función no es continua por esta razón.
Para x=1 determinamos límitelimx→1 x2+x-6x2+2x-3= -40 INDETERMINACIÓN
Se anula sólo el denominador. En este caso hay que calcular límites laterales de la siguiente manera:
1) En el numerador valuar en x0=1 ( pues no seanula)
2) En el denominador, valuar por derecha y por izquierda en valores infinitamente cercanos a x0=1, lo que dará como resultado valores infinitamente pequeños +ó – que simbolizaremos 0+ y 0-...