Ejercicios de Probabilidad 2

Ejercicios Resueltos y Propuestos
de Interrogaciones
Curso EYP1112
Tomo II
Primera Edici´n
o

Trabajo de Recopilaci´n, Organizaci´n y Elaboraci´n
o
o
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Patricia Jim´nez P. & Ricardo Olea O.
e
Departamento de Estad´
ıstica - Facultad de Matem´ticas
a
Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Santiago, Diciembre 2004

Prefacio
Con la intenci´n de apoyar la labor docente quedesarrolla el Departamento de Estad´
o
ıstica
de la Facultad de Matem´ticas de la Pontificia Universidad Cat´lica de Chile, se ha realizado
a
o
un trabajo de recopilaci´n y elaboraci´n de ejercicios resueltos y propuestos, adem´s de gu´
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a
ıas
con respuestas para el curso EYP1112, donde algunos de los cuales ya fueron desarrollados
en ayudant´ y han sido parte de interrogaciones ensemestre anteriores.
ıas
Queremos agradecer muy en especial a FONDEDOC, por haber confiado en este proyecto
y habernos entregado todo su apoyo para poder ver realizada esta necesidad tanto para el
Departamento de Estad´
ıstica, como para todos los alumnos y alumnas que son beneficiados
de los cursos de servicio que ofrece el mismo.
Este trabajo ha sido fruto de la labor que desarrollarondocentes y ayudantes que dictaron
el curso entre los a˜os 2000 y 2004.
n
Espec´
ıficamente deseamos agradecer a los profesores
Ernesto San Mart´
ın
Guido del Pino
Jos´ Tapia
e
Leonardo Epstein
Lorena Correa
Mar´ Paz Casanova
ıa
Mario Rojas
Oslando Padilla
Atentamente.
Direcci´n
o
Departamento de Estad´
ıstica
Facultad de Matem´ticas
a
Santiago, Diciembre 2004
Recopilaci´n,Organizaci´n y Elaboraci´n por Ricardo Olea O. & Patricia Jim´nez P.
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II

Recopilaci´n, Organizaci´n y Elaboraci´n por Ricardo Olea O. & Patricia Jim´nez P.
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Indice general
6. Ejercicios Interrogaci´n III Resueltos
o

129

7. Ejercicios Examen Resueltos

169

8. Ejercicios Propuestos Interrogaci´n III Y Examen
o
207
8.1. Ejercicios Propuestos I3 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2. Ejercicios Propuestos Examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9. Gu´ 3
ıa
215
9.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
A. Formulario
B. Tablas de distribuci´n
o
B.1.Distribuci´n t de Student .
o
B.2. Distribuci´n χ2 . . . . . .
o
B.3. Distribuci´n F (α = 0,05)
o
B.4. Distribuci´n Normal . . .
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I

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III
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V
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Recopilaci´n, Organizaci´n y Elaboraci´n por Ricardo Olea O. & Patricia Jim´nez P.
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INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo 6Ejercicios Interrogaci´n III Resueltos
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EJERCICIO 11
Sean X1 y X2 variables aleatorias i.i.d. con densidad
fXi (xi ) = 3x2 si 0 < xi < 1 i = 1, 2.
i
Sean Y1 =

X1
X2

e Y2 = X1 X2 .

(a) Determine la densidad conjunta entre Y1 e Y2 .
(b) Determine la densidad condicional de Y1 dado Y2 .
(c) Calcule el valor esperado de Y1 cuando Y2 = y2 .
´
SOLUCION

(a) Por teor´ de cambiode variables bivariado tenemos que la distribuci´n conjunta de
ıa
o
Y1 e Y2 es:
fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = fX1 ,X2 (x1 (y1 , y2 ), x2 (y1 , y2 ))|J|
donde Y1 =

X1
X2

e Y2 = X1 X2 . Luego

X1 =
1

Y1 Y 2

X2 =

Y2
Y1

I3 - TAV 2000

Recopilaci´n, Organizaci´n y Elaboraci´n por Ricardo Olea O. & Patricia Jim´nez P.
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Cap´
ıtulo 6. Ejercicios Interrogaci´n...