Ejercicios resueltos

1) Dada la transformaci´n lineal o T : R3 → R2 (x, y, z) (5x − 2y + 3z, x + 4y − 2z)

Determinar la matriz asociada a T en las bases can´nicas de cada espacio. o Respuesta: Sean C1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y C2 = {(1, 0), (0, 1)} bases can´nicas de R3 y R2 o respectivamente. Lo primero que debemos hacer es evaluar T en cada uno de los vectores de la base de R3 , asi: T (1, 0, 0) =(5, 1) T (0, 1, 0) = (−2, 4) T (0, 0, 1) = (3, −2). Luego debemos hallar las coordenadas de cada vector obtenido en la base de R2 : (5, 1) = 5(1, 0) + 1(0, 1) (−2, 4) = −2(1, 0) + 4(0, 1) (3, −2) = 3(1, 0) + (−2)(0, 1) As´ ı: [(5, 1)]C2 = [(−2, 4)]C2 = [(3, −2)]C2 = ∴ [T ]C2 = C1 5 1 (1◦ columna de [T ]C2 ) C1 −2 4 3 −2 (2◦ columna de [T ]C2 ) C1 (3◦ columna de [T ]C2 ) C1

5 −2 3 1 4 −2

2 2)Sean B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y D = {(1, 1), (0, 1)} bases de R3 y R2 respectivamente y T una transformaci´n lineal tal que o [T ]D = B 4 2 −2 −3 −1 1

Explicitar T (x, y, z) Respuesta: Utilizaremos el teorema [T (u)]D = [T ]D · [u]B para ello necesitamos obtener B [u]B Sean u = (x, y, z) ∈ R3 , α, β, γ ∈ R tal que: α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) = (x, y, z) Resolveremos elsismeta asociado a la igualdad anterior utilizando su matriz asociada α+γ α+β ⇒ α+β+γ  1 0 1  1 1 0 ⇔ 1 1 1 = x = y = z      1 0 1 1 0 1 x x x f3+1(−1) f3+2(−1) y  − − −  0 1 −1 y − x  − − −  0 1 −1 y − x  − −→ − −→ f2+1(−1) z 0 1 0 z−x 0 0 1 z−y

Luego α = x + y − z, β = z − x, γ = z − y   x+y−z ∴ [u]B =  z − x  z−y Ahora reemplazando [T ]D y [u]B en el teorema mensionadoanteriormente se tiene lo B siguiente:   x+y−z 4 2 −2 [T (x, y, z)]D = · z−x  −3 −1 1 z−y 2x − 4z + 6y ⇔ [T (x, y, z)]D = −2x + 3z − 4y Como 2x − 4z + 6y son las coordenadas de T (x, y, z) en la base D podemos escribir −2x + 3z − 4y la siguiente combinaci´n lineal: o T (x, y, z) = (2x − 4z + 6y)(1, 1) + (−2x + 3z − 4y)(0, 1) As´ obtenemos T (x, y, z) = (2x − 4z + 6y, −z + 2y) ı

3 3) Sean B = {(1,1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y D = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 2, 3)} bases de R3 y T una transformaci´n lineal tal que o   4 2 −2 [T ]D =  −3 −1 1  B 1 2 −2 Determinar, sin explicitar T (x, y, z), una base para Ker(T ). Respuesta: Sabemos que el kernel de una transformaci´n lineal es el conjunto de todas o las preim´genes del vector nulo, es decir son todos los (x, y, z) ∈ R3 tal que T (x, y,z) = a (0, 0, 0). Utilizaremos nuevamente el teorema [T (u)]D = [T ]D · [u]B , en este caso nuestra inc´gnita o B es (x, y, z) ∈ Ker(T ) Se tiene que [T (x, y, z)]D = [(0, 0, 0)]D , es claro que las corrdenadas del vector nulo en cualquier base es un vector nulo.   0  0  ∴ [(0, 0, 0)]D = 0   α Sea [(x, y, z)]B =  β , reemplazando en el teorema se tiene que: γ       0 4 2 −2 α  0  = −3 −1 1  ·  β  0 1 2 −2 γ Lo que representa un sistema se ecuaciones homogeneo que resolveremos utilizando su matriz asociada:         f 4 2 −2 1 2 −2 1 2 −2 1 2 −2 1 2(− 7 ) f3+1(−4)  −3 −1 1  −  3 −1 1  − − −  0 −7 7  − − →  0 1 −1  −− → − −→ f13 f2+1(−3) 0 −6 6 4 2 −2 4 2 −2 0 −6 6   1 0 0 − − →  0 1 −1  −− f3+2(6) 0 0 0 Luego se tiene que α = 0, β = γ, γ = γ.    α 0 ∴ [(x, y, z)]B =  β  =  γ  γ γ

4 Ahora que conocemos las coordenadas del vector (x, y, z) ∈ Ker(T ) en la base B podemos escribir la siguiente combinaci´n lineal: o (x, y, z) = 0(1, 1, 1) + γ(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) ⇔ (x, y, z) = (γ, γ, 2γ) ⇔ (x, y, z) = γ(1, 1, 2) As´ se tiene que todos los (x, y, z) ∈ Ker(T ) se pueden escribir como combinaci´n lineal ı o del vector (1, 1, 2), por lotanto Ker(T ) = (1, 1, 2) Como {(1, 1, 2)} es Li, entonces es una base de Ker(T ) 4) Sean B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y D = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 2, 3)} bases de R3 y T una transformaci´n lineal tal que o   4 2 −2 [T ]D =  −3 −1 1  B 1 2 −2 Determinar, sin explicitar T (x, y, z), una base para Im(T ). Respuesta: De la matriz asociada podemos obtener lo siguiente:       4...