Ejercicos de algebra lineal

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas : 6 (1273 palabras )
  • Descarga(s) : 0
  • Publicado : 22 de agosto de 2012
Leer documento completo
Vista previa del texto
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficaspor computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).
Contenido

1 Conceptos básicos
2 Contexto general
3 Espaciosvectoriales de uso común
3.1 Vectores en Rn
3.2 Matrices
3.3 Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
4 Generalización y temas relacionados
5 Véase también
6 Enlaces externos

Conceptos básicos
Representación gráfica de la suma de dos vectores en \mathbb{R}^2.

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarsecomo ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.

Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos losvectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.

Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2 corresponde a un plano cartesiano XY y \mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.

Las operaciones básicas entre los vectores (en loque concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.

El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:

r \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1),junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).

Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:

T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) +T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.

El álgebra lineal estudiaentonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
Contexto general

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntosdenominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos).

Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios...
tracking img