Espacio vectorial

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1-Espacio vectorial. Definición y ejemplo
Un espacio vectorial real V, es un conjunto de objetos llamados vectores junto con dos operaciones llamadas sumas y multiplicaciones por un escalar que satisfacen los once axiomas enumerados
* Propiedad asociativa de la suma u+(v+w)=(u+v)+w
* Propiedad conmutativa de la suma v+w=w+v
* Existencia de elemento neutro o nulo de la suma existeun elemento o E V, llamado vector cero o nulo de forma que v+o=v para todo v E V
* Existencia de elemento opuesto o simetrico de la suma para todo v e V existe un elemento –v E V, llamado opuesto de v, de forma que v+(-v)=0
* Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores a (v+w)=a v +a w
* Propiedad distributiva del producto por un vector respecto ala suma de vectores a (a+b)v=av + bv
* Propiedad asociativa mixta de l producto por un escalar a(b v)=(ab) v
* Existencia de elemento unidad del producto por un escalar 1 v=v, donde 1 es la identidad multiplicativa en k.
* Producto por el escalar cero 0 v=0. El es el único escalar que cumple esta propiedad.
* Producto de un escalar por el vector nulo a 0=0
* Opuesto delproducto de un vector por un escalar –(a v)=(-a) v=a(-v).

Ejemplo:
El plano R al cuadrado (x,y)=(-1/3.x+2/3.y).(-1,1)+(1/3.x+1/3.y).(2,1)

2-.Elementos de un espacio vectorial:
Vectores.

3-.Operaciones en los espacios vectoriales
-Operaciones normales:
Suma:
Se suman los respectivos componentes de los vectores, obteniendo el vector suma como resultado.
Ejemplo:(3,2,-5)+(2,1,3)=(3+2,2+1,-5+3)=(5,3,-2)
Multiplicación por un escalar:
Cada uno de los componentes del vector se multiplica por el escalar.
Ejemplo:
3 x (1,5,-4)=(3x1,3x5,3x(-4))=(3,15,-12)
-Operaciones especiales:
Producto vectorial:
Es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclideo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Para definir este nuevovector ( c ) es necesario especificar su modulo, dirección y sentido:
* El modulo de c esta dado por: A B sin omega (donde omega es el ángulo determinado por los vectores a y b)
* La dirección de c es tal que c es ortogonal a y ortogonal b
* El sentido en el que apunto el vector c esta dado por la regla de la mano derecho
Ejemplo:
A x B= A B sin omega ^n .

4-.Subespacios vectorialDefinición y ejemplo.
Un subconjunto W de un k-espacio vectorial V, se llama subespacio vectorial de V, si W es un k-espacio vectorial bajo las operaciones suma y multipacion de V.
Por ejemplo dado un k-espacio V, los subcojuntos {0}{0} y V clararamente son subespacios. Se les conoce como los subespacios tviales de VV.
Según la definición para ver que WW es un subespacio de VV, debemos verificarque WW cumple con todos los axiomas de espacio vectorial. Sin embargo, hay varios axiomas que por ser validos en VV, automáticamente son validos en WW (por ser W c VW c V).
Ejemplo:
Sea W=C(R )={f: R->R I fW=C(R )= {f: R-> R If es continua
Por las conocidas propiedades de las funciones continuas se concluye que C(R ) c F (R,R) C(R ) c F(R,R) es un subespacio
5-. Independencia lineal ycombinaciones lineales. Definicion y ejemplo de c/u
V1,V2….Vn son linealmente independiente si la ecuación c1v1+c2v2……CnVn=0, se cumple solo para C1=C2=….Cn+0.
Ejemplo:
2 -6
Los vectores v1=-1 y V2= 3 son linealmente dependientes ya que V2=-3V1
3 -9
Un vector x se dice que es combinación lineal de un conjunto devectores A=x1,x2,…..xn si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar a1, a2,….. de forma que:
X=a1x1+a2x2+…+anxn= 1 a i xi
Asi x es combinación lineal de vectores de a si podemos expresar x como una suma de multiplos de una cantidad finita de elementos de A
Ejemplo:
2x+3y-2z=0. Se dice que z es...
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