Espacios vectoriales

U N I D A D 4

ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Definición de espacio vectorial.

TEMAS INTRODUCTORIOS DE GEOMETRÍA
Su objetivo en esta unidad será identificar y manipular los principales objetos geométricos con los que se trabaja en el espacio como son planos, rectas, cilindros, superficies cuádricas y de revolución, tanto en las coordenadas rectangulares como  en lossistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.

Panorama conceptual sobre rectas y planos en el espacio
Al trabajar en el espacio ¿cuáles son los objetos geométricos mas simples con los cuales se debe trabajar?
 A continuación, encontrará una visualización gráfica de este tema de la unidad.

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es unconjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
i. Si x V y Y V, entonces x+y V
ii.Para todo x,y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)
iii. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x
(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
iv. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)
v. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de lasuma de vectores)
vi. Si x V y a es un escalar, entonces a x V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
vii. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x +y (primera ley distributiva)
viii. Si x V y y son escalares, entonces ( +)x = x+x (Segunda ley distributiva)
ix. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de lamultiplicación por escalares)
x. Para cada vector x V, 1x= x

X1
X2
.
.
XN

X1
X2
.
.
XN

EJEMPLO 1

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

-x1
-x2
.
.
.
-xn
-x1
-x2
..
.
-xn
0
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0

0= y –x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la

definición de matrices.

Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas que se muestran enumerados acontinuación.
Notación. Si x y y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y α x para el producto escalar de α f x.

Axiomas de un espacio vectorial.
i. Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V (es decir, V es cerrado para la suma).
ii. Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).
iii. Existe un vector 0 ∈ V tal que paratodo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo).
iv. Si x ∈ V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como el inverso aditivo de x).
v. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores).
vi. Si x ∈ V, y α es un escalar, entonces αx ∈ V (se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar).
vii. Si x y y están en V y siα es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva).
viii. Si x ∈ V y si α y β son escalares, entonces (α y β)x = αx + βx (segunda ley distributiva)
ix. Si x ∈ y si α y β son escalares, entonces α(β)x = αβx (ley asociativa de la multiplicación por escalar).
x. Para todo vector x ∈ V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).
Teorema. Sea V un espacio...