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6.8 Coeficiente de determinación. Coeficiente de correlación.

Una vez ajustada la recta de regresión a la nube de observaciones es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajusterealizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajuste se utiliza el coeficiente dedeterminación, definido comosigue

(6.15)


o bien


Como scE < scG, se verifica que 0 < R2 < 1.

El coeficiente de determinación mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente respecto a su mediaque es explicada por el modelo de regresión. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por cien.

Por otra parte, teniendo en cuenta que i - = 1, se se obtiene

(6.16)Dadas dos variables aleatorias cualesquiera X e Y , una medida de la relación lineal que hay entre ambas variables es el coeficiente de correlación definido por

(6.17)


donde representala desviación típica de la variable X (análogamente para ). Un buen estimador de este parámetro es el coeficiente de correlación lineal muestral (o coeficiente de correlación de Pearson), definido por(6.18)


Por tanto, r . Este coeficiente es una buena medida de la bondad del ajuste de la recta de regresión. Evidentemente, existe una estrecha relación entre r y 1 aunque estosestimadores proporcionan diferentes interpretaciones del modelo:
* r es una medida de la relación lineal entre las variables X e Y.

* 1 mide el cambio producido en la variable Y al realizarse un cambio deuna unidad en lavariable X.

De las definiciones anteriores se deduce que:



Es importante estudiar si r es significativo (distinto de cero) ya que ello implica que el modelo de regresiónlineal es significativo. Desafortunadamente la distribución de r es complicada pero para tamaños muestrales mayores que 30 su desviación típica es 1/, y puede utilizarse la siguiente regla



En la...
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