Estadistica

Problemas Resueltos del Tema 1
1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.
Solución.
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimentoconsiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como:
E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}
2- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas delmismo tipo anterior.
a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.
d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso
imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?Solución
a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:
(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)
(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)
(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)
(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formadopor todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:
A = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}
c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:
B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}
d) Observando los sucesos elementales que los componen se deduceninmediatamente los siguientes resultados:
A È B = B A Ç B = A B- A = {(V, V, V, V)}
2 Problemas de Análisis de Datos. José M. Salinas
e) La colección formada por el suceso A, el B, la unión de ambos, su intersección, y su diferencia, más el suceso seguro y el suceso imposible, no constituye un sigma-álgebra. Para demostrarlo basta comprobar que se incumple una de las dos condiciones. Por ejemplo, elsuceso A incumple la segunda porque su contrario no pertenece a la colección.
3- Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?
Solución
a) Para que las dos vecespulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja y la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2). Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos favorables (uno),partido por casos posibles (tres)
P(R1 Ç R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. Laprobabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son independientes.
P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9
4- Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo, un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad...