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Teorema del límite central
Carles Rovira Escofet
P03/75057/01008

© FUOC • P03/75057/01008

Teorema del límite central

Índice

Sesión 1 La distribución de la media muestral ................................................. 5 1. Distribución de la media muestral para variables normales ................... 5 1.1. Caso de desviación típica poblacional conocida.............................. 5 1.2. Caso de desviación típica poblacional desconocida. La t de Student .................................................................................. 8 2. Resumen ................................................................................................... 10 Ejercicios ....................................................................................................... 11Sesión 2 El teorema del límite central ................................................................ 13 1. Aproximación de la binomial a la normal .............................................. 13 1.1. Estudio de la proporción .................................................................. 16 2. El teorema del límite central ....................................................................17 2.1. Control de calidad ............................................................................ 18 3. Resumen ................................................................................................... 19 Ejercicios ....................................................................................................... 20

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Teorema del límitecentral

La distribución de la media muestral

En esta sesión estudiaremos el comportamiento de la media muestral de una variable. Por ejemplo, supongamos que queremos estudiar la media de la altura de los estudiantes de la UOC: entre ellos hemos seleccionado una muestra al azar, los hemos medido y hemos calculado la media de las alturas de los estudiantes de la muestra; ahora queremos ver cómose comporta esta media muestral. Veremos que si sabemos que la variable que se estudia es normal, entonces la media muestral también es normal, pero con desviación típica menor. Y también veremos que si la variable no es normal pero la muestra es lo bastante grande, la media también será aproximadamente normal.

1. Distribución de la media muestral para variables normales Supongamos que tenemosuna muestra x1, ..., xn de una variable aleatoria normal. Recordemos que la media se define como: x = 1 -n

i = 1



n

xi .

Esta media depende de la muestra. Normalmente tendremos sólo una muestra, pero podríamos tomar muchas diferentes, de manera que a cada una le correspondería una media diferente. Esto nos da pie a hablar de la distribución muestral de la media. Para indicar que setrata de una variable aleatoria, la denotaremos por X . Para estudiarla, deberemos distinguir dos casos: cuando la desviación típica de la variable que medimos es conocida y cuando es desconocida.

Observad que... ... para una colección de muestras, tendremos la correspondiente colección de medias muestrales x 1 , ..., x k .

1.1. Caso de desviación típica poblacional conocida Pensemos en elejemplo de las alturas de los estudiantes de la UOC. Supongamos que en un estudio anterior se había demostrado que las alturas de los estudiantes de la UOC seguían una distribución normal de media 172 cm y desviación típica de 11 cm. Intuitivamente vemos que la media de las observaciones de la muestra que tenemos debe de ser un valor cercano a 172. También parece razonable pensar que observacionesmayores que la media poblacional, 172, se compensarán con valores menores, y que cuanto mayor sea la muestra, más cercano será el valor de la media muestral a 172.

Desviación poblacional y desviación muestral La desviación poblacional es la desviación real de la variable, que en este caso suponemos conocida. Cuando calculamos la desviación a partir de muestras, hablamos de desviación...
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