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*Aplicaciones de la integral*

Cuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente del área del calculo y del análisis matemático (cualquiera que esta sea, ya que el área matemática abarca todos los campos del conocimiento).
Las integrales son básicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamentepequeños.

Ejemplo1: Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

Ejemplo2:Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual aldoble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

*Teorema fundamental de calculo*

El teorema fundamental del calculo es una sorprendente relación que existe entre la integral definida y la integral indefinida de una función. Teniendo en cuenta que la integral definida de una función es sencillamente el valor del área bajo la curva, y que la integral indefinida es una antiderivada de la función,es decir, dos conceptos poco parecidos, sorprende que los dos estén estrechamente relacionados. Este descubrimiento de Newton y Leibniz le da toda la fuerza al calculo infinitesimal.
Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b].
Por otro lado, sea g(x) una función tal que g’(x)= f(x) para todo x([a, b]. se tiene entonces que (f(x)dx =g(b) - g(a)

Ejemplo1: Calcular la derivada de lasfunciones:

*Área bajo una curva*
Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales [b,a] ax= y bx es la parte del grafico que esta debajo de la curva graficada...y dependiendo de su significado dependerá de lo que se grafique.

Ejemplo1.
Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y4=f(x). 3-=x, 2=x.

Solución: trazo de la región: en primero mediada se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

2-.Planteamiento de la integral: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
2
A= ( 4 dx
-3

3-.Evaluación de la integral: Ahora procedemos a evaluar la integral.
2(4dx 4x|2
A =-3 = |-3

= 4(2)-4(-3)=20

4-. Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

A=bh
=(2-(-3))(4)
=(5)(4)
=20

Ajemplo2. Hallemos el área de la región acotada por la curva acotada porxx)x(f+=3[]55,-.

Solución: trazo de la región. Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

2-.Planteamiento de la integral: Si se observa la fig 3, las rectas x=-5 y x=5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 [-5,5] respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [5,0] y [0,5]. Luego el área de laregión (coloreada de verde) viene dada por:
A= A1 + A
0 5
A=( (x( - x) dx + ( (x( -x) dx
-5 0

3-.Evaluación de la integral: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

A= ( (x(- x)dx + (x(- x) dx = x4 + x( |0 + x4 + x( |5
4 2 |5 4 2 |0

Luego el área de la región sombreada es de 675 U(

*Volumen de un sólidos en revolución*
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se halla en el...
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