Estimacion de la media

Estimación de la media poblacional mediante intervalos de confianza.

El objetivo de este apartado es conseguir una estimación de la media (desconocida) de una población, cuya desviación típica es conocida.
Para ello se recurre a una muestra de tamaño n, para la que se obtiene su media, .

Nota: Sabemos que las medias muestrales se distribuyen según una normal (siempre que la población departida lo sea, ó aún no siéndolo, siempre que n30).

Definición: Decimos que el intervalo centrado en , [-L, +L] es un intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 95%, (p.e.), si .

Nota: Podemos hablar de un 95% de nivel de confianza, ó alternativamente, de un 5% (100-95) de nivel de significación.

Ejemplo 1: Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de unapoblación de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es =2,3. Nos proponemos estimar pasando una prueba a 100 alumnos. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser =6,32.
Halla el intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 95%.

Solución:
Puesto que n=100, sabemos que .
Esto quiere decir, que aunque no sabemos elvalor de , “podemos asegurar que estará entre 5,87 y 6,77 con una probabilidad del 95%”.

Al radio del intervalo de confianza, L, se le llama error máximo admisible; en el ejemplo anterior es L=0,45.

Notas:
Para un tamaño muestral fijado, podemos rebajar el error máximo admisible a costa de rebajar el nivel de confianza.
Si lo que queremos es mantener fijo el nivel de confianza y rebajar elerror, tendremos que aumentar el tamaño de la muestra.

Ejemplo 2: En el ejemplo anterior, y manteniendo el nivel de confianza en el 95%, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error máximo admisible sea L=0,20?

Solución:
Si el intervalo de confianza ha de ser [-0,20, +0,20], entonces, como ,

Ejemplo 3: Queremos saber la media de km recorridos por los taxistas de ciertapoblación. Sabemos por estudios anteriores que = 2.250 km. Para ello, elegimos una muestra de 100 taxistas y obtenemos una media muestral =15.200 km.
a) Determina el intervalo de confianza al 99% para .
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error no supere los 500 km con la misma confianza del 99%?

Solución:
Puesto que n=100 (30), sabemos que .

b) Si el I.C. hade ser [-500, +500], entonces, como ,

Ejemplo 4: De una población Normal de media desconocida y desviación típica = 6, se extrae la siguiente muestra: 82, 78, 90, 89, 92, 85, 79, 63, 71.

c) Determina el intervalo de confianza al 98% para .
d) Determina el tamaño muestral para que, con la misma confianza, el intervalo de confianza tenga una amplitud igual a 4,66.

Solución:

a)Como la población de partida es Normal, independientemente de cual sea el tamaño de la muestra (en este caso, n=9), sabemos que .
La media de la muestra resulta ser =81. Ha de suceder que

b) Ahora y . Hemos de determinar n para que

Nota: Para el mismo nivel de confianza, si queremos que el intervalo de confianza sea el doble de estrecho (rebajar el error hasta la mitad), hemos de tomar untamaño muestral 4 veces mayor.

Ejemplo 5: Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la duración (horas) de estas sigue una Normal de media desconocida y varianza 2 =3.600 h.
Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 %, ha obtenido, para , el intervalo de confianza [372,6 ; 392,2].

e) ¿Cuál fue el valor que obtuvo para la media de la muestra? ¿Cuálfue el tamaño muestral utilizado?
f) ¿Cuál sería el error (L) de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%?

Solución:

a) Sabemos que es el centro del intervalo [372,6 ; 392,2], o sea, =382,4 h.

Como la población de partida es Normal, independientemente de cual sea el tamaño de la muestra, sabemos que . (Cuidado: )

b) Si...