Estocasticos

Procesos Estocásticos

Introducción:

El paso del tiempo juega un papel esencial en el complejo mundo que observamos. Es por eso la mayoría de los modelos matemáticos consideran cantidades que cambian aleatoriamente con el tiempo. Tales modelos son llamados procesos estocásticos y hay de muchos tipos.

Siempre que estudiamos el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del tiempo,estamos ante un proceso estocástico.
En general, trabajamos con procesos estocásticos en cualquier caso en que intentamos ajustar un modelo teórico que nos permita hacer predicciones sobre el comportamiento futuro de un proceso.
Un ejemplo particularmente importante lo proporcionan las denominadas "Series de
Tiempo" o "Series temporales", que registran observaciones de determinado procesoen función del tiempo. Podemos definir, pues, un proceso estocástico como una
familia{X (t), t*} de variables aleatorias, clasificadas mediante un parámetro t, que varía en un conjunto T.

Concepto:

Un proceso estocástico [X(t,s)] depende de un valor aleatorio (s ) que esta contenido dentro de un conjunto llamado espacio de estados, y del tiempo (t) que está contenido en un espaciollamado espacio de parámetros, como se puede observar en la siguiente figura:

Para visualizar más los conceptos señalados tenemos:
X(t,s) constituye una familia de funciones, un proceso estocástico, donde t es un
instante de realización y s es el parámetro de la señal.
X(t,s0) es una función de t.
X(t0,s) es una variable aleatoria.

X(t0,s0) esun resultado experimental, un número real.

Parámetros de interés de los Procesos aleatorios:

Para aplicaciones en Telecomunicaciones nos interesa obtener muchos parámetros de las señales aleatorias que se transmiten.
* la potencia de la señal transmitida
* la componente continua de ella
* el ancho de banda de la señal
* la intensidad de las transmisiones
* la energía delsímbolo recibido
* la probabilidad de error

En consecuencia, nos interesará obtener sólo éstos parámetros de los procesos estacionarios.
Obtenerlos será el objetivo de los desarrollos siguientes.

Procesos aleatorios discretos y continuos:

En general cuando nos interesa obtener estadísticas de señales digitales intervendrán dos tipos de procesos aleatorios.
Los procesos continuos:* señales digitales recibidas
* el ruido presente a la entrada de un receptor o demodulador
Los procesos discretos consideran
señales con distribución discreta.

Si congelamos nuestro proceso aleatorio en un tiempo t=t1 de tal manera de que se convierta en una variable aleatoria X1=x , con lo cual podremos obtener su función probabilidad acumulada y su respectiva función de densidad.Así de igual manera podemos generalizar para N variables aleatorias.
A continuación definiremos algunas características que serán de mucho apoyo para el estudio de señales aleatorias.
Procesos estacionarios

Un proceso estacionario es aquel que es invariante ante una traslación en el origen de tiempos.

Proceso estacionario de primer orden:

Debe cumplirse que para todo, sus funciones deprobabilidad y de distribución no dependan del tiempo, sino sólo de x:

Es decir que la probabilidad no cambia ante una traslación en el origen de tiempos.
Por esto mismo, el valor medio y la varianza serán constantes para todo t

Proceso estacionario de orden 2:

Debe cumplirse que para todo

Por lo que se puede decir que ya que solamente depende de la diferencia de tiempos entre t1 yt2.
Que un proceso sea estacionario de orden 2 implica que es estacionario de orden 1, es decir que su función de densidad de probabilidad es independiente del tiempo y que el valor medio y la varianza son constantes en el tiempo.

Con ello se puede comprobar de forma clara que en un proceso estacionario de segundo orden la autocorrelación sólo depende de la diferencia de tiempos

Proceso...