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TRANSFORMACION LINEAL

Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W ( T:V(W) es una función que asigna a cada vector v(V un vector único T(v)(W y que satisface :
A.1)( v1 ,v2(V [T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)]
A.2)(((R (v(V[T((v)= (T(v)]

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal , entonces se cumple que :
❖ T(0V)=0W
❖ (v1,v2(V[T(v1-v2)=T(v1)-T(v2)]
❖ (v1,v2 ,…,vn(V , ((1,(2,…, (n(( [T((1v1 +(2v2 +…+(nvn)=(1T(v1)+(2 T(v2) +…+(n T(vn)]

teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1, v2, …, vn}. Sean w1, w2, …, wn vectores del espacio vectorial . Entonces existe una transformación lineal única T:V(W tal que T(vi)=wi para i=1,2,…,n.

NUCLEO ( KERNEL ) DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Sea T:V(W una transformación lineal, se definecomo Núcleo de T, a :
Nu(T)={v(V / T(v)=0W }= Ker(T)

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal, entonces se cumple que el Núcleo de T es un subespacio vectorial de V.

NULIDAD DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea T:V(W una transformación lineal, se define como Nulidad de T, a:
Nulidad de T= ((T) = dim Nu(T)

RECORRIDO ( IMAGEN ) DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Sea T:V(W unatransformación lineal, se define como Recorrido de T, a:
Rec(T)={w(W/T(v)=w para algún v(V}=Im(T)

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal, entonces se cumple que el Recorrido de T es un subespacio vectorial de W.

RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea T:V(W una transformación lineal, se define como Rango de T, a : ( (T) = dim Rec(T)

TEOREMA DE LAS DIMENSIONES

Sea T:V(W unatransformación lineal y V un espacio vectorial de dimensión finita, entonces se cumple que: ( (T) + ((T) = dim V

TRANSFORMACION LINEAL INYECTIVA (UNO A UNO)

Sea T:V(W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y sólo si :
( v1 ,v2(V [T(v1)=T(v2)( v1=v2]

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal . T es inyectiva sí y sólo si Nu(T)={0V} (((T)=0)

TRANSFORMACION LINEALSOBREYECTIVA

Sea T:V(W una transformación lineal, entonces T es sobreyectiva, si y sólo si :
( w(W (v(V [T(v)=w]

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal. T es sobreyectiva sí y sólo si ( (T)=dim W

ISOMORFISMO

Sea T:V(W una transformación lineal, entonces T es un Isomorfismo si y sólo si T es inyectiva y T es sobreyectiva.

ESPACIOS VECTORIALES ISOMORFOS

Se dice que los espaciosvectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W.

teorema
V y W son espacios vectoriales isomorfos (V(W) si y solo si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dimV=dimW.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL

Sean V y W dos espacios vectoriales con bases (1={v1, v2, …, vn } y (2={w1, w2, …,wm} respectivamente y sea T: V(W una transformación lineal,entonces la matriz AT de mxn se define como la matriz asociada de T , tal que : AT = [T(v1)](2 [T(v2)](2 [T(v3)](2 … [T(vn)](2

teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n , W un espacio vectorial de dimensión m y T:V(W una transformación lineal. Si (1={ v1, v2 , … , vn }es una base de V y (2={ w1 , w2 , … , wm }es una base de W . Entonces existe una sola matriz A(Mmxn tal que :(v(V { [T(v)](2=AT [v](1}

OPERADOR LINEAL SOBRE UN ESPACIO VECTORIAL
T es un operador lineal sobre V, si y solo si T: V(V es una transformación lineal.

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal. Si {v1, v2, … ,vn} es linealmente independiente en V y T es inyectiva, entonces {T(v1), T(v2) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W.

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal. Si{T(v1), T(v2) , … , T(vn)} es linealmente independiente en W, entonces {v1, v2, … ,vn} es linealmente independiente en V.

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal, AT la matriz que representa a T , V y W espacios de dimensión finita y dimV=n entonces se cumple que :
❖ ((T)=((AT)
❖ ((T)=((AT)
❖ ((T)+((T)=n

teorema
Sea T:V(W una transformación lineal .Si dimV=dimW=n y T es...
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