Estudiante

Polos y Ceros
Las funciones de transferencia de los sistemas se pueden expresar como el cociente de polinomios de ’s’: H(s) = N(s)/D(s). Un polinomio de grado n tiene n raíces, esto es: hay n valores de s que hacen que dicho polinomio valga cero. Los valores de s que hacen cero el numerador de H(s) se llaman ceros, mientras que los valores de s que hacen cero el denominador se denominan polos(del inglés “pole”: poste, pues para dicho valor H(s) = ∞). Los ceros y polos son, en principio, valores complejos que constan de una parte real y otra imaginaria. El mapa que representa la posición de los polos y ceros de un sistema en el plano complejo se denomina “el lugar de las raíces”. A título de ejemplo se muestra en la siguiente figura (como gráficas separadas para la magnitud y la fase) lafunción de transferencia H(s) = 1/(s2 + 0,5s + 1), que tiene dos polos complejos conjugados con parte real negativa (p 1,2 = −0,25 ± j · 0,968). En la figura se muestra sólo el segundo cuadrante del plano ’s’, de modo que uno de los cortes es el del eje imaginario positivo (s = jω). La curva obtenida en dicho corte será por lo tanto la de la respuesta en frecuencia del sistema.
|H(s)| 10fase(H(s)) 180 135 90 45 0 -45 -90 -135 -180

1

6.31 3.98 2.51 1.58 1 0.631 0.398 0.251 0.158

150 100 50 0 -50 -100 -150

0.1

-3 -2.5 Real(s)

-2 -1.5

-3 -2.5 -1 -0.5 Real(s)

-2 -1.5

0

0

0.5

1

2 1.5 Imag(s)

2.5

3

-1 -0.5

0

0

0.5

1

2 1.5 Imag(s)

2.5

3

En la figura vemos que cuando en el plano complejo el valor de ’s’ se acerca al polo,|H(s)| tiende a infinito. De este modo, cuando un polo está cerca del eje imaginario va a ’tirar hacia arrriba’ de la magnitud de H( jω), lo que da lugar a un pico de resonancia. La respuesta en frecuencia de un sistema se puede deducir de forma aproximada mediante unas reglas sencillas que relacionan las posiciones de los polos y los ceros en el lugar de las raíces con sus efectos en el diagrama deBode. Algunas de estas reglas son:

Polo/Cero Polo en el origen: 1/s = 1/0 (Integrador) Polo, real: 1/(s/ω p + 1) = 1/0 Cero en origen: s = 0 (Derivador) Cero, real: (s/ωz + 1) = 0 Par de polos complejos conjugados: 1/(s2 /ω2 + s/(Qω0 ) + 1) = 1/0 o Cero, real: (s/ωz − 1) = 0

Parte Real 0 negativa 0 negativa positiva negativa

Efecto en ganancia Decremento: -20 dB/dec (todas las frec.)(ganancia ∞ para ω = 0) Decremento: -20 dB/dec (ω > ω p ) Incremento: +20 dB/dec (todas las frec.) (ganancia 0 para ω = 0) Incremento: +20 dB/dec (ω > |ωz |) Decremento: -40 dB/dec (ω > |ω0 |), resonancia Incremento: +20 dB/dec (ω > |ωz |)

Efecto en fase Desfase de -90o (todas las frec.) Decremento: -90o (ω Desfase de +90o ωp )

(todas las frec.) |ωz |) |ωz |) |ω0 |)

Incremento: +90o (ωDecremento: Decremento: -90o (ω (ω -180o

Ejemplos
Sistema con polos reales
Circuito Lugar de las raíces
0 dB Vi Vo p2=1/R2C2 C1 C2 p1=1/R1C1 dB(|H(j ω ) R1 Vo1 R2>>R1

Diagrama de Bode
p1 p2 −20dB/dec log( ω )

−40dB/dec

0º ϕ(Η(ω)) −90º −180º

log( ω )

En la figura se muestra un sistema que presenta dos polos reales en su función de transferencia. Si suponemos que R2 R1 la corrienteque circule a través de R2 va a tener muy poca influencia en el valor de VO1 y se va a poder despreciar. Nos quedan por lo tanto dos filtros RC del tipo analizado anteriormente conectados en cascada, esto es: con la salida del primero conectada a la entrada del segundo. La función de transferencia de este sistema será por lo tanto el producto de las funciones de transferencia de los filtrosindividuales: H(s) = 1 1 1 · = 1 + R1C1 s 1 + R2C2 s (1 + R1C1 s)(1 + R2C2 s) (11)

y negativos. Supongamos además que |p1 | < |p2 |. En el diagrama de Bode la ganancia vale 1 (0 dB) hasta llegar a la frecuencia angular p1 . A partir de dicha frecuencia la ganancia decrece a razón de 20 dB por década hasta llegar a la frecuencia del polo p2 . A partir de la frecuencia del segundo polo la ganancia...