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Traza de una matriz de 4×4.
En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.
Es decir,

donde aij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A.
[editar] Propiedades
* La traza es un operador lineal:

siendo y matrices cuadradas, y un escalar.
* Como la diagonalprincipal no se ve afectada al transponer la matriz,

* Si es una matriz de y una matriz de , entonces

Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices A y B viene dado por

con lo cual, podemos expresar la traza de AB como

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio

Notar que es una matriz cuadrada de , mientras que es una matriz cuadrada de
*Si es una matriz cuadrada de orden con autovalores reales o complejos (incluyendo multiplicidad): entonces:

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de la aplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es lasuma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordan, es decir, la suma de autovalores.
Traza de una Matriz Cuadrada
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
10 de septiembre de 2008
´I
ndice
7.1. Definiciones y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2. La traza de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3
7.1. Definiciones y propiedades b´asicas
A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollos
posteriores. Veremos su definici´on y sus propiedades b´asicas. En la lectura posterior se entender´a su aplicaci´on.
Definici´on
Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
tr(A) =
m
Xi=1
aii = a11 + a22 + · · · + amm (1)
En particular:
tr(In) = n, y tr(Jn) = n
Ejemplo
Determine la traza de la matriz:
A =

1 −1 2
0 −3 −1
−2 −3 8

Soluci´on
Directamente de la definici´on
tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6⋄
Lema 7.1
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3. tr (A′) = tr (A)
Demostraci´on
1. TomemosC = kA, as´ı cij = k aij y por tanto
tr (kA) = tr (C) =
m
Xi=1
cii =
m
Xi=1
(k aii) = k
m
Xi=1
aii = k tr (A)
3. Si C = A′, cij = aji y as´ı cii = aii:
tr A′_ = tr (C) =
m
Xi=1
cii =
m
Xi=1
aii = tr (A) ⋄
Ejercicio 1
Sean A y B matrices m × m, demuestre que
tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
Sugerencia
Tome C = A + B, as´ı cii = aii + bii. Aplique ahora la definici´on de latraza.
Ejercicio 2
Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces
tr (AB) = tr B′A′_
Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto.
Ejercicio 3
Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:
tr (AB) = tr B′A′_
A = _ 1 2 3
3 2 1 _ y B =

−2 1
2 3
4 1

Lema 7.2
Sea A una matriz cuadradaparticionada tal que
A =

A11 A12 · · · A1k
A21 A22 · · · A2k
...
...
. . .
...
Ak1 Ak2 · · · Akk

Entonces
tr (A) = tr (A11) + tr (A22) + · · · + tr (Akk)
2
Demostraci´on
Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenaci´on de las diagonales
principales de las matrices Aii.
7.2. La traza de un producto
Teorema 7.3
Sean A y B matrices m× n y n × m respectivamente.
tr (AB) = tr (BA)
Demostraci´on
Tomemos C = AB, as´ı
cij =
n
Xk=1
aikbkj
Para j = i la f´ormula anterior queda:
cii =
n
Xk=1
aikbki
As´ı:
tr (C) =
m
Xi=1
cii =
m
Xi=1
n
Xk=1
aikbki =
n
Xk=1
m
Xi=1
aikbki =
n
Xk=1
m
Xi=1
bkiaik
Por otro lado si D = BA, as´ı
dij =
m
Xk=1
bikakj
Para j = i la f´ormula anterior queda:
dii =
m
Xk=1...