Factorización

MATEMÁTICAS BÁSICAS FACTORIZACIÓN
CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Ejemplo. Sean los siguientes productos:

(3)(2) = 6 , por lo que factores de 6 son 3 y 2 . (5)(2) = 10 , por lo que factores de 10 son 5 y 2 . (5)(3)(2) = 30 , por lo que factores de 30 son 5 , 3 y 2 .
Nótese como el número 2 aparece como factor comúnde números se divide exactamente entre dicho factor común.

6 , 10 y 30 porque cada uno de estos

Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos. Ejemplos. 1) El término

3x 2 es factor común de 6 x 4 y , de 9x 3 y de − 12 x 2 y 2 porque cada monomio puede 3x 2 por otro término, es decir:expresarse como el producto de

( )( ) 9 x = (3x )(3x ) − 12 x y = (3x )(− 4 y )
6 x 4 y = 3x 2 2 x 2 y
3 2 2 2 2 2

4ab 2 es factor común de 28a 2b 3 , de − 20a 3b 2 y de 8ab 3 porque cada monomio puede 2 expresarse como el producto de 4ab por otro término, es decir: 28a 2 b 3 = 4ab 2 (7ab)
2) El término

(

− 20a 3b 2 = 4ab 2 − 5a 2 8ab = 4ab
3

(

(

)

2

)(2b)

)(

)Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. Esto significa que factorizar es convertir una expresión en el producto indicado de sus factores. En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. Los tipos de factorización más utilizados se exponen a continuación.

MONOMIO COMO FACTOR COMÚN Para encontrar el factor común de los términosde un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, se escogen las que tengan el menor exponente. 1

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Factorización

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplos. Factorizar los siguientes polinomios. 1) 4a b + 10 a b El MCD de loscoeficientes es 2 , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos
3 2 2

a 2 y b , por lo que el factor común es: 2a 2 b 3 2 2 2 Así que: 4a b + 10a b = 2a b(2a + 5b )
son: 2)

6 x 5 y 3 z + 18 x 3 y 4 z 5 − 21x 4 y 2 z 4 El MCD de los coeficientes es 3 , y las literales de menor exponente que aparecen en todos los términos 2 3 2 3 son: x , y y z , por lo que el factorcomún es: 3 x y z
Así que:

6 x 5 y 3 z + 18x 3 y 4 z 5 − 21x 4 y 2 z 4 = 3x 3 y 2 z 2 x 2 y + 6 y 2 z 4 − 7 xz 3 2 3) k + km = k (k + m ) 2 4) 12 p + 3 pq = 3 p(4 p + q ) 16 x 6 − 56 x 4 + 24 x 2 − 40 x 5 + 32 x 3 = 8 x 2 2 x 4 − 7 x 2 + 3 − 5 x 3 + 4 x
4 3 5 6 3 8 4 5 2 9 2 3

(

)

5) 6)

(

49k m + 70k m − 63k m + 14k m − 91k m = 7k m 7k + 10k 3 m3 − 9km5 + 2k 2 m 2 − 13m 6 3 2 4 15 43 3 2 3 7) e f + e f = e f ( f + 5e 2 ) 2 2 2 3 6 7 4 5 2 2 4 4 6 2 4 6 3 2 2 2 2 8) 22α β λ − 44α λ − 66α β λ + 55α λ = 11α λ 2αβ λ − 4α λ − 6β + 5α λ Nótese como no aparece en el factor común la literal β ya que no está en todos los términos del
2

(

)

)

(

)

polinomio.

POLINOMIO COMO FACTOR COMÚN En una expresión, cuando el máximo común divisor (MCD) de todos los términoses un polinomio entonces se puede descomponer como el producto de este factor común por un polinomio cuyo resultado sea la expresión original, tal y como se muestra a continuación. Ejemplos. Factorizar las siguientes expresiones. 1)

(a + b) Así que: 5(a + b) + k (a + b ) = (a + b )(5 + k ) 2) 6r (m − 3n ) − 8q(m − 3n ) + 11s(m − 3n ) El MCD de los todos los términos es: (m − 3n)
El MCD de lostodos los términos es:

5(a + b ) + k (a + b )

Así que: 6r (m − 3n ) − 8q (m − 3n ) + 11s (m − 3n ) = (m − 3n )(6r − 8q + 11s )

3) w x + 3 y − 2 z − x − 3 y + 2 z + 4 p x + 3 y − 2 z Esta expresión puede rescribirse como: por lo que el MCD de los todos los términos es:
2 3

(

)

(

)

(x + 3 y − 2z ) Así que: w( x + 3 y − 2 z ) − x − 3 y + 2 z + 4 p( x + 3 y − 2 z ) = ( x + 3...