Funcin Cuadrtica

Función Cuadrática
Es de la forma:

Detalles importantes:
✷ La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática
es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.
La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de “a” es positivo, osea a>0, lo que
quiere decir que la función es cóncava hacia arriba

La función será estrictamente decreciente en

Asícomo estrictamente creciente en:

Y hacia abajo en caso de que “a” sea negativo, osea a<0, lo que indica que la
función es cóncava hacia abajo.

De paso la función será estrictamente creciente en el siguiente intervalo:

Además será decreciente en el siguiente intervalo:

✷ Las raíces o ceros de una función cuadrática, como en toda función, son los
valores de x, para los cuales

. Por tratarse deun polinomio de

grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como:
dependiendo del valor del discriminante Δ definido como

y

,

.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo serán
determinadas de la siguiente manera:

Por ejemplo para la siguiente función:

Los ceros, se calculan de la siguiente forma aplicando la formula general.

Estas son las 2,soluciones de la función, siempre y cuando el discriminante, sea
mayor a 0.

✷ Ahora si el discriminante es 0. La solución será real y DOBLE. Y se calculara
así:

Y está solución además corresponde a la recta del eje de simetría de la función.
Ejemplo
Sea
Si calculamos el discriminante

Por lo que la única solución será igual a:

Es decir
Representaciones de la función cuadrática

Forma desarrollada
Laforma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a
la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:
con

.

Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus
raíces como:
, siendo a el coeficiente principal de la función, y
y

las raíces de

entonces

. En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a

se la denomina raíz doble.

Cortes de la función en el eje “x” y “y”

Para x
Las distintas soluciones de la ecuación de segundo grado, son los casos de corte
con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Para y
La función corta el eje “y” en el punto → (0, c).

Eje de simetría

Este es un eje que divide a laparábola en dos partes iguales, es decir simétricas.

Vertices
)
Este vértice será un punto máximo, si la parábola es cóncava hacia abajo. Y será
un punto mínimo si la parábola es cóncava hacia arriba.

Valor máximo o mínimo de una función cuadrática
Para todo “a” diferente de 0. Vamos a tener dos casos. Pero citemos la formula a
utilizar:

Habrá un valor máximo de la parábola de la función cuandoa<0.
Habrá un valor mínimo de la parábola de la función cuando a>0.

Ámbito de una función cuadrática
Si a<0. Se calcula como sigue:

Si a>0. Se calcula como sigue:

Ilustración

Ejercicios de la función cuadrática
Representar las funciones cuadráticas
1. y = -x² + 4x – 3
2. y = x² + 2x + 1
3. y = x² +x + 1
Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes
parábolas:
1. y= (x-1)²+ 1
2. y= 3(x-1)² + 1
3. y= 2(x+1)² - 3
4. y= -3(x - 2)² - 5
5. y = x² - 7x -18
6. y = 3x² + 12x - 5
Indicar, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas
las siguientes parábolas:
1. y = x² - 5x + 3
2. y = 2x² - 5x + 4
3. y = x² - 2x + 4
4. y = -x² - x + 3
Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y
pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.
Sesabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por
los puntos (1,1), (0, 0) y (-1,1). Calcula a, b y c.
Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2).
Halla su ecuación.

Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa:
1. y = x² + 2
2. y = x² - 2
3. y = (x + 2)²
4. y = (x + 2)²
5. y = (x - 2)² + 2
6. y = (x + 2)² − 2
Solución de...