Funciones continuas

Función continúa:
Es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. También una función es continua cuando su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Definición de continuidad 
Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1.
Estádefinida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
2.
Existe
3.

Ejemplo
Sea f la función definida
Determinar si f es continua en

Según la definición de la función.

Además

Luego por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:
 
 

Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continúa en cada punto del intervalo. Unafunción que es continua en toda la recta real (-∞, ∞) se llama continua en todas partes.
Ejemplos de funciones continúas:
1º Toda función polinómica  es continua en R.
2º Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.
3º Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos.

Continuidad en una IntervaloCerrado:
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b) f es continua en a por la izquierda:

F es continua en a por la derecha:

Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.
Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4].
F(x) es continuapor la izquierda en x = 0, ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda.
F(x) es continua por la derecha en x = 4, ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda.

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida atrozos.
F (2)= 4

Por tanto: f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

Si b es un número real y  f,  g  son continuas en x = c, entonces:
   1) bf  es continua en c                         (múltiplo escalar)
   2) f g es continua en  x = c               (suma o diferencia)
  3) fg es continua en x = c                    (producto)
  4)  es continua en  x = c                  si g(c) 0  (cociente)
 
 Funciones continua en su dominio:
 1)     Funciones polinómica.
 2)     Funciones racionales.
 3)     Funciones radicales.
4)     Funciones trigonométricas.
 
 Teorema-Función compuesta
            Si g es continua en  c  y  f  es continua en g(c),
Entonces  (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en x = c.
 
Continuidad de una función compuesta:
Si g es continua en c y fes continua en g(c), la función compuesta
(f ° g )(x)= f (g(x)) es continua en c.
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a, α g [f(x)] pertenece al E g[f(a)],ε.

 

Definición de continuidad utilizando y  
Según la definición de continuidad, una función f es continua en un punto c sí.
Utilizando la definición de límite, la anterior igualdad significa que para cada existetal que si entonces
  Sin embargo ahora la restricción no es necesaria, ya que si toma entonces y por lo que y cero es menor que, lo cual cumple con lo que estipula la definición de límite.
Luego puede decirse que una función es continua en si y solo si para cada existe tal que si entonces.

Note que si la función es continua en c, entonces el punto está en la gráfica de f y existen puntosde ella tan cercanos como se desee al punto

Según la definición dada de continuidad, dada una y para cualquier selección de las rectas cuyas ecuaciones son , , existen rectas con ecuaciones , tales que la parte gráfica de f que está entre las dos últimas líneas, queda enteramente contenida en el rectángulo determinado por las cuatro rectas ya mencionadas, como se muestra en la figura...