funciones exponenciales

Funciones Exponenciales
Teorema: Sean a ∈ R+ y x ∈ R. Entonces existe una función f : R −→ R tal que
f (x) = ax
y verifica las siguientes propiedades:
Sean a, b ∈ R+ y x, y, r ∈ R. Entonces
1. a0= 1
2. a(x+y) = ax ay
3.

ax
= ax−y
ay

4. arx = (ax )r = (ar )x
5. a−x =

1
ax

6. (ab)x = ax bx
7.

a
b

x

=

ax
bx

8. Si 0 < a < 1 entonces f (x) = ax es una funciónestrictamente decreciente.
9. Si a > 1 entonces f (x) = ax es una función estrictamente creciente.
Definición: Esta función se llama exponencial en base a y se denota por expa . Su gráfico tiene una delas siguientes formas:
y

y

(0, 1) •

• (0, 1)

x

x

f (x) = ax para a > 1

f (x) = ax para 0 < a < 1
1

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Funciones Logarítmicas
Teorema: Sea a ∈ R, a > 0 y a = 1 entoncesla función exponencial en base a es biyectiva, por lo tanto
existe su función inversa.

Definición: La función inversa de la exponencial en base a se llama función logaritmo en base a y ladenotaremos como loga . Es decir,
loga (x) = y ⇔ expa (y) = x
Si a ∈ R, a > 0 y a = 1 podemos definir la función como:
loga : R+ −→ R,

y = loga (x)

Su gráfico tiene una de las siguientes formas:
y
y•
(1, 0)

f (x) = loga (x) para a > 1

(1, 0)
•

x

f (x) = loga (x) para 0 < a < 1

Propiedades: Sean a ∈ R, a > 0 y a = 1, x, y ∈ R+ , r ∈ R entonces
1. loga (xy) = loga (x) + loga(y)
2. loga

x
y

= loga (x) − loga (y)

3. loga (xr ) = r loga (x)
4. loga (1) = 0
5. loga (ar ) = r
6. loga (x) = loga (y) ⇔ x = y

x

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Demostración: Sea u = loga (x) y v = loga(y) entonces au = x y av = y, así tenemos que:
loga (xy) = loga (au av ) = loga (au+v ) = u + v
Luego
loga (xy) = loga (x) + loga (y)
Análogamente se verifican las otras propiedades.
Observación:En los casos particulares en que a = 10 o bien a = e, se conviene escribir
log10 (x) = log(x)

y

loge (x) = ln(x)

Teorema(Cambio de base): Sean a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a = 1, b = 1 y x ∈ R+...