Funciones inversas y operaciones con funciones
Álgebra de las funciones
Operaciones con funciones Función Suma
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)
Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces: ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1 ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7
Función Diferencia
Si f(x) y g(x)son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
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ING. PABLO DAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES Ejemplo 2: Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces: ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2 ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = -2
Función Producto
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f * g ) ( x ) = f (x) * g (x)
Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y
h (x) = x – 2 entonces:
( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2 ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75
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Función Cociente
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por
Ejemplo 4 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:
1.
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Composición de Funciones Compuestas )
( Funciones
Sean f(x) y g(x) dos funciones con susrespectivos dominios Df y Dg , entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:
Ejemplo
Sea
, entonces:
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ACTIVIDAD-PRÁCTICA
Sea , halla las
funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
( f + g ) (x)(g–f)(x) (g-f)(2) (j·f )(x) ( j·f )( -1 ) (g/f)(x) (f(j(x)) (j(f(x)) h(j(x))
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La composición de funciones: Función compuesta
Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C talque (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.
La función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de función identidad. También se
el mismo x de A, se denomina simboliza por 1A o idA.
En otras palabras la función Identidad es igual a la variable independiente de la función en cuestión, ejemplos: f(x)=x , h(t)=t , g(s)=s Dada cualquier función igual a f yque , se cumple que es también igual a es , puesto que
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ING. PABLO DAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES tenemos que para todo y también
Se verifica que
la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva. la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva. la composición de dos funciones biyectivas esbiyectiva.
Función inversa
Dada una función una función , se llama una (función) inversa de , a
tal que se cumple las siguientes condiciones: .
Decimos también que la función f es invertible Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .
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ING. PABLODAVILA SILVA UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES Se verifica también las siguientes propiedades.
Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva. La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los...
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