Funciones varias variables

Matem´ticas I. Primero D. a Prof. A Alcaraz

Tema 1: Funciones de varias variables.
1. Funciones escalares de varias variables. 2. Campo de existencia. 3. L´ ıneas de nivel.

1. Funciones escalares de varias variables. Las funciones de varias variables tienen la forma general u = f (x1 , . . . , xn ). En esta expresi´n x1 , . . . , xn , son variables independientes a las que pueden o darsevalores arbitrarios, con ciertas limitaciones de las que hablaremos luego, y f representa una cadena de operaciones que efectuadas dan, como resultado final, un valor para la variable u que es llamada funci´n. Nos ocuparemos o sobre todo del caso n = 2 y entonces ponemos z = f (x, y). Tambi´n ser´n frecuentes en nuestro estudio las funciones de tres variables e a que se escriben como u = f (x, y,z). Ejemplos: Funciones de dos variables son z = 1 + xy o z = sen(x + y) mientras que u = x2 + y 2 + z 2 es una funci´n de tres variables. o 1

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Representaci´n geom´trica. o e El caso n = 2 tiene la ventaja de que puede visualizarse porque a estas funciones puede darse una interpretaci´n geom´trica sencilla:Los valores o e de x e y se toman como coordenadas de un punto del plano oxy sobre el que levantamos un segmento perpendicular de altura z = f (x, y) con lo que obtenemos el punto del espacio (x, y, z) = (x, y, f (x, y)). Al variar x, y, estos puntos forman la representaci´n geom´trica de la funci´n o e o que recibe el nombre de superficie expl´ ıcita.

Figura 1. Representaci´n de o la funci´n z =1 + xy. o
(x,y,f(x,y))

(x,y,0)

Primero D. Prof. A.Alcaraz. Tema 1. 2. Campo de existencia.

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2. Campo de existencia. Si consideramos la funci´n z = o que a estos valores corresponde z= √ 12 − 02 = 1 x2 − y 2 y tomamos x = 1, y = 0, resulta

para la funci´n. En cambio si hacemos x = 0, y = 1, no es posible hallar o ning´n valor para z ya que en este caso u z= y √ −1 no es un valorreal. √ 02 − 12 = √ −1

Por esto llamamos campo de existencia o dominio de una funci´n z = f (x, y) o a la regi´n del plano oxy formada por todos los puntos para los que es posible o efectuar las operaciones indicadas mediante f y que proporcionan de hecho un valor para z. No quedan, por lo tanto, incluidos en el campo de existencia los puntos (x, y) tales que no puede calcularse elcorrespondiente valor de z. Tal como se ha definido la representaci´n ge´metrica de la funci´n, su proo o o yecci´n sobre el plano oxy es el campo de existencia. o El dominio de una funci´n est´ condicionado exclusivamente por ella y cuano a do sea de inter´s determinarlo (y algunas veces lo es) tendremos en cuenta e que su c´lculo se efect´a por exclusi´n: En principio cualquier punto (x, y) a u o est´ en ´lpero revisando ordenadamente y una a una las operaciones que se a e realizan para hallar el valor de z nos vemos forzados a ir excluyendo valores. Los puntos que permanecen cuando se finaliza el proceso forman el campo de existencia.

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Por ejemplo la funci´n z = log(xy) est´ definida, por las propiedades del o a logaritmo de unn´mero, si xy > 0 lo que sucede si u
   x > 0 e y > 0,      o si     

x < 0 e y < 0,

es decir en los puntos de los cuadrantes primero y tercero del plano coordenado con exclusi´n de los ejes. o

x>0 y>0
Figura 2. Campo de existencia de la funci´n z = log(xy). o

x 0, es decir si la l´ ınea de nivel corresponde a una secci´n o de la representaci´n geom´trica de la funci´n dadapor un plano o e o situado por encima del plano z = 0, la hip´rbola corta al eje ox e en los puntos que resultan poniendo y = 0 en x2 − y 2 = k, x2 = k −→ x2 = k −→ √ √ x = − k, k,

√ √ es decir en los puntos (− k, 0) y ( k, 0).

Primero D. Tema 1. Ejercicios resueltos.

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y=x
Figura 19. La hip´rbola e x2 − y 2 = k k > 0.

y = -x

Luego la hip´rbola tiene sus v´rtices y focos en...