Geometria

1.1Conceptos básicos y fundamentales de la geometría:
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de lageometría diferencial con Gauss y mástarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1.- Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2.- Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.
Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representarfiguras geométricas mediante fórmulas del tipo f(_x_,_y_) = 0, donde f representa una función) u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2_x_ + 6_y_ = 0) y las circunferencias y el resto decónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ).
1.2-Sistema decoordenadas lineales y en el plano:
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto) O, y negativo si esta a la izquierda. Dicho punto se llama centro de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro decoordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y unvector unitario en el sentido positivo de las x: {draw:frame} .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.

Un punto:
{draw:frame}
también puede representarse:
{draw:frame}La distancia entre dos puntos A y B es:
{draw:frame}
Sistema de coordenadas plano
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadascartesianas
La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).
Se denomina también abscisa al eje x, y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientrasque las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origencon las componentes del vector OA.
{draw:frame}
La posición del punto A será:
{draw:frame}
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial).
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
{draw:frame}
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
{draw:frame}
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.
1.3 distancia entre dos puntos:
Se denomina distancia euclídea entre dos puntos) A(_x_1,_y_1) y B(_x_2,_y_2) del plano a la longitud del...