Guia de Matemáticas I

CONJUNTOS NUMÉRICOS
 
Antes de comenzar a hablar de conjuntos numéricos se hace imprescindible saber qué entendemos por conjunto.
Si bien es cierto, en matemáticas, existen algunos conceptos que no han podido ser definidos, pero sin embargo, se pueden dar algunas ideas que nos acercan a la comprensión de ellos; tal es el caso del concepto CONJUNTO.
Una idea intuitiva de CONJUNTO, aceptadauniversalmente, es:
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aA.
 
A modo de ejemplo, podemos nombrar los siguientes conjuntos:
 
 : el conjunto vacío, que carecede elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
  Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
 
Unconjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A = {1,2,3, ... ,n} , por extensión
B = {p | p N } , por comprensión
 Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es tambiénde B, es decir,
a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de unodado A se llama Conjunto Potencia de A, y se denota P (A).
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B  P (A).
Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces P (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a} P(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universo, o de referencia.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B = { x | x  A  x  B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A  B = {x | x  A  x  B}.
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B = {a  A | a  B}.Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B = (A  B)   A
Si A  P (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:
 ' = U . U ' = . (A')' = A . A  B  B'  A' .
  Si A y B sonsubconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'.

En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES
UNION
INTERSECCION
1.- Idempotencia
A  A = A
A  A = A
2.- Conmutativa
A  B = B  A
A  B = B  A
3.- Asociativa
A  ( B  C ) = ( A  B )  C
A  ( B  C ) = ( A  B )  C4.- Absorción
A  ( A  B ) = A
A  ( A  B ) = A
5.- Distributiva
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
6.- Complementariedad
A  A' = U
A  A' = 

  Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
A   = A , A   =  ( elemento nulo ).
A  U = U , A  U = A ( elemento universal ).
( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A' ...