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Complemento de Modelos (Variables Aleatorias Continuas)
4.- Modelo Gamma X ∼ Gamma (η,λ)

La distribución Gamma es un modelo muy popular en ingeniería, por ejemplo: Teoría de colas (líneas deespera), Confiabilidad, Energía Eólica (Velocidad de viento), Hidrología, etc. Se presenta en múltiples formas, desde distribuciones totalmente asimétricas hasta distribuciones completamente simétricas,dependiendo de dos parámetros:λ es denominado parámetro de escala; y η es denominado parámetro de forma. Su función de densidad es:
λη xη −1 f(x) = exp{−λx} Γ(η )

; x ∈ ℜ+, λ ∈ ℜ+ , η ∈ ℜ+.

λ1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

η 3/2 1/2 1 4 6

Como casos particulares; se aprecia que cuando el parámetro de forma es η = 1, se recupera la distribución exponencial de parámetro λ ; cuandoη es un númeronatural arbitrio se le llama distribución Erlang (muy popular en teoría de colas). „[X] = µ =
∞

η •[X] = „[X2] – („[X])2 = σ 2 = 2 λ

−∞

∫ xf x ( x)dx =

η λ

(valor medio), (varianza)

σ=1 η2

λ

Desviación estándar.

5.- Modelo Weibull

X ∼ W (α,λ)

La distribución Weibull popularizada por el físico del mismo nombre, adquiere particular importancia en modelosrelacionados con Tiempos de vida, Velocidad del viento, Confiabilidad, etc. La función de densidad f, depende de dos parámetros: λ, denominado parámetro de escala; y α, denominado parámetro de forma, y estádada por: f(x) = α λα xα −1 exp{−(λx)α } ; x ∈ ℜ+ , λ ∈ ℜ+ , α ∈ ℜ+.

Además tiene función de distribución explicita dada por: F(x) = 1 − exp{−(λx)α } ; x ∈ ℜ+

La distribución muestracaracterísticas unímodales cuando el parámetro de forma α es mayor que 1, y a medida que éste crece para un parámetro de escala λ fijo, la distribución es más simétrica.

λ 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

α 1/5 1/2 2 4 6Obs.: i) Note que para α=1 se recupera el modelo exponencial. ii) Investigue media y varianza de modelo Weibull.

6.- Modelo Beta

X ∼ Beta (a, b)

La distribución Beta es también un...