humanista

1. Determinar a, b ∈ R3 tales que:
F (x, y, z) = (6abz 3 y − 20bx3 y 2 )ˆı + (6abxz 3 − 10bx4 y)ˆ
 + 9abxyz 2 kˆ
Sea un campo gradiente.
2. Calcular el valor de la integral:
2xex

2

+2y 2

− y dx + 4yex

2

+2y 2

+ x2 dy

γ

Donde γ es el arco de y = 2 − x2 que va desde (1, 1) a (−1, 1).
3. Sea el campo de fuerza F (x, y, z) = (−y, −x, 1). Encontrar el trabajo que efect´ua el campo sobre
una part´ıcula que recorre una trayectoria que une sucesivamente los puntos:
(1, 1, 3), (3, −1, 4), (−2, 1, 5), (2, 1, 4)
4. Calcular γ F · dr, en donde F (x, y, z) = (z, x, y), y la curva γ siendo la intersecci´on del plano
x + y + z = 3 con la superficie que delimita la regi´on:
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2
• Trate de hacerlo como integral del´ınea y luego usando el Teorema de Stokes
5. Calcule el valor de la integral:

γ

y + xy 2 + x3
x − x2 y − y 3
dx
+
dy
x2 + y 2
x2 + y 2

Siendo γ = (x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y 2 = 1 , recorrida en sentido positivo.
6. Determinar el trabajo ejercido por el campo de fuerzas F (x, y) √
= (1 − y 2 , x) sobre una part´ıcula
que recorre una trayectoria que coincide con la curva y = sen ( x), de x= 0 a x = π 2 .
7. Sea S = S1 ∩ S2 , con:
S1 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1
S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x + 2y − z = 0
Calcule el trabajo hecho por el campo F (x, y, z) = (x + 2z, y − x, zx) a lo largo de S al recorrerlo
en el sentido otorgado por el vector (1, 2, −1).
8. Sea S el manto del hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = 1, acotado por −1 ≤ z ≤ 2. Encontrar el flujo a
trav´es de S del campo:
F(x, y, z) = (2x + z, y + x, −3z)
9. Considere la familia de campos vectoriales:
fa (x, y) =
Sea A = f1/2 + f3/2 . Calcular

γ

a−x
y
,
2
2
(x − a) + y (x − a)2 + y 2

; a∈R

A · dr sobre la curva γ = (x, y) ∈ R2 : x4 + y 4 = 15 .
1

10. Calcular:
x sen x2 − y 3 dx + x3 + y cos y 2

dy

C

Siendo C la porci´
on de la circunferencia x2 + y 2 = 1 que se encuentra sobre elprimer cuadrante,
recorrida en sentido horario.
x

11. Encuentre la circulaci´
on de F (x, y) = (y + ex ln(y)) ˆı + ey ˆ, alrededor de la regi´on acotada entre
las curvas y + x2 = 3 e y = x4 + 1, en sentido antihorario.
12. Dados u = u(x, y) y v = v(x, y) de clase C 1 R2 y la regi´on R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1 , se
definen:
∂u ∂u ∂v
∂v
F (x, y) = (v, u) ; G(x, y) =
−
,
−
∂x ∂y∂x ∂y
Y sobre ∂R se definen:
f (x, y) = u ; g(x, y) = v
Calcular:
F · GdA
R

Si f (x, y) = 1 y g(x, y) = y.
13. Calcular el valor de la integral:
kˆ × ∇ψ · dn
C

Siendo n la normal que apunta en direcci´on opuesta al origen, ψ(x, y) = arctan (y/x), y C la
curva descrita por 4(y − 4) = x2 (x − 2) − 2x2 , yendo desde x = 2 hacia x = 0.
14. Sea el campo de velocidades de un fluido iguala:
v(x, y, z) = −xˆı + z kˆ
El fluido pasa a trav´es de un canal de 1[m] de ancho a lo largo del eje y. Calcular el caudal que
atraviesa la superficie z = x2 , en 0 ≤ x ≤ 2. (El caudal de un fluido corresponde al flujo de su
campo de velocidades)
15. Considere el campo F (x, y, z) = (x, x(y − 1), xyz), y la superficie S1 , definida como:
S1 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 2 − xEncuentre el flujo del campo F a trav´es de S1 en direcci´on de la normal exterior.
ˆ Calcular
16. Sea F (x, y, z) = ex + y 2 ˆı + ey + z 2 ˆ + ez + x2 k.
tri´
angulo con v´ertices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

C

F · dr sobre el borde C del

17. Calcular el flujo del campo ∇ × F , con F (x, y, z) = h(x), −2cos(xy) + 2x + yz 2 , cos(xy) + y 2 z ,
siendo h(x) alguna funci´
on de claseC 1 (R); a trav´es de la superficie S obtenida al unir cada punto
de la curva C con el origen, donde C corresponde a la intersecci´on de la superficie z = 4x2 + 9y 2
con el plano 2y − z + 3 = 0, con orientaci´on inducida por el vector (0, −2, 1).

2

18. Considere el campo F (x, y, z) = (4z, 0, 4y), y la curva C dada por la intersecci´on de las superficies:
S1 = (x, y, z) ∈ R3 : z =...