Independencia (estadistica y probabilidad)

Introducción: Independencia
En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos noestá influida por que el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionados.
La independencia de sucesos es algo muy importante para laestadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dossucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

Desarrollo.
Dos sucesos son independientes si laprobabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P(A) y P(B) sonlas probabilidades de que ocurran respectivamente entonces:
A y B son independientes si y solo si

Sean A y B dos sucesos tales que P(B) > 0, intuitivamente A esindependiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

De la propia definición de probabilidad condicionada:

sededuce que y dado que deducimos trivialmente que .
Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.

Ejemplos.
1. Paraun hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes?
Según vimos en el Ejemplo 3 el espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY}
A Ç B = {xY}
por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes.