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5.5) CALCULOS DE APROXIMACIONES, USANDO LA DIFERENCIAL.
Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función “y” con respecto a “x”, la notación de Leibnitz, dxdy, como un símboloy no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permiterepresentar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamientogeométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)). fig. Tomando el punto P(x0, y0) .
como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx ydyson paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy= mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nospermite dar la definición formal de las diferencial. Definición: i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento x¦¤; esto es xdx¦¤=. ii. Si y = f (x) esuna función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como xxfdy¦¤)(‘=, o tambi¨¦n, . dxxfdy)(‘= Interpretación geométrica de la diferencial Sea f unafunción derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: xmRQ¦¤.=, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por tanto, m = f ¡¯(x0). Así que:dyxxfRQ==¦¤)(‘0 (1) Además, ()()00xfxxfy−+=¦¤¦¤ (2) Se puede observar entonces que: y¦¤: es el incremento en y medido sobre la curva; y, dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente.
Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función “y” con respecto a “x”, la notación de Leibnitz, dxdy, como un símboloy no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permiterepresentar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamientogeométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)). fig. Tomando el punto P(x0, y0) .
como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx ydyson paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy= mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nospermite dar la definición formal de las diferencial. Definición: i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento x¦¤; esto es xdx¦¤=. ii. Si y = f (x) esuna función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como xxfdy¦¤)(‘=, o tambi¨¦n, . dxxfdy)(‘= Interpretación geométrica de la diferencial Sea f unafunción derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: xmRQ¦¤.=, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por tanto, m = f ¡¯(x0). Así que:dyxxfRQ==¦¤)(‘0 (1) Además, ()()00xfxxfy−+=¦¤¦¤ (2) Se puede observar entonces que: y¦¤: es el incremento en y medido sobre la curva; y, dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente.
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