Ingeniería

Problema del primer parcial

Un tros de metall a una temperatura a s’introdueix a un forn, la temperatura del qual creix uniformement de a fins a b en l’interval d’una hora. La velocitatd’escalfament del metall al forn és proporcional a la diferència de les temperatures del forn i del metall, sent k el coeficient de proporcionalitat. Trobar la temperatura del tros de metall al cap d’una hora.Anomenen T(t) la temperatura del tros de metall al cap de t hores, a comptar des que l’hem introduït al forn : T(0) = a.
Anomenen TF (t) la temperatura del forn. Com aquesta creix uniformement deTF (0) =a a TF (1) = b, podem expressar: .
De l’enunciat del problema es dedueix:

És a dir:Problema de Cauchy d’equació lineal de coeficients continus en l’interval de t: , per la qual cosa el problema plantejat té solució única definida en aquest interval.
Per integrar l’equaciólineal anterior, integrem primer l’equació homogènia associada:

i obtenim . Apliquem el mètode de variació de les constants perintegrar l’equació lineal completa i tenim:

Integrem per parts i obtenim:

on M és una constant. Com tenim:I així arribem a :
. La resposta del problema és:


Problema del segon parcialDonat el problema:

On , i és la suma enèsima de la sèrie de Fourier associada a la funció que resulta d’estendre de forma periòdica en R, de períodeT = 2 , la funció donada per . Es demana trobar les solucions de (P) en funció del paràmetre . Sempre que siga possible s’utilitzarà per resoldre el problema la corresponent funció de Green....