Integral definida (calculo)

Integral definida

11.

Sol. 510
= 21 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510

12.

So/. 210
= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

Aplicando lafórmula B de la suma
. _ n(n + 1)

!'" = 20(20 + 1) 2
_ 20(21)
2 = 210

13. ^2k =
ír = 1
20

Sol. 420

=2|* = 2(1+ 2+ ... + 20)

Aplicando la fórmula B de la suma
_ 2(20) (20 + 1)
2

= 420.5
En la misma forma que se estudiaron las pendientes de las rectas tangentes para motivar la definición de la derivada, nos referimos a las áreas con el fin de facilitar el estudio de laintegral definida. Primero se dará una definición de la integral definida, posteriormente se citará otro, como un límite de las sumas de Riemann.

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Matemáticas V • Cálculo integral Ejemplo: Serequiere calcular el área acotada por las rectas verticales x - a, x - b que intersecan al eje x (véase Figura 4), y por la gráfica de una función f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado[a, bl Nos referimos al área como la superficie de f entre las rectas a y b (véase Figuras 5 y 6).

Figura 5

Figura 6

Figura 7

TTr^
a
Figura 8

b

El área por calcular es mayor que lasuma de las áreas de los rectángulos de la figura 5 y menor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 6 (véase figura 7). Se repite este proceso y, al hacerlo, el área de los rectángulosque están por "debajo" de la curva es casi igual al área de los rectángulos que están por "encima" de la curva (véase figura 8). En el límite, es decir, cuando la base de los rectángulos tiende acero, la suma de las áreas de los rectángulos que están por "debajo" de la curva es igual a la suma de los otros rectángulos, entonces se obtiene el área bajo la curva en el intervalo a,b. Este procesonos lleva a obtener el área como un límite; a este límite se le llama integral de la función.

Sea /"(x) una función cuya curva es JQ (véase Figura 9) y f(x) dx = d F(x), es decir, jf(x) dx F(x),...